Ensino Superior ⇒ Equação de Diferença polinomial

[Andre13000]

Suponha que [tex3]f(x+1)-f(x-1)=2\varphi'(x)[/tex3]

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[tex3]f(x+1)-f(x-1)=2\varphi'(x)[/tex3]

Prove que se [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

é um polinômio então existe uma solução

[tex3]f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{F_{2n+1}(x)}{2n+1}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{F_{2n+1}(x)}{2n+1}[/tex3]

Onde

[tex3]F_{2n+1}(x)=\varphi(x)+\sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{(n!)^2}{(n+k)!(n-k)!}\[\varphi(x+k)+\varphi(x-k)\][/tex3]

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[tex3]F_{2n+1}(x)=\varphi(x)+\sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{(n!)^2}{(n+k)!(n-k)!}\[\varphi(x+k)+\varphi(x-k)\][/tex3]

E a função [tex3]\varphi(x)[/tex3]

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[tex3]\varphi(x)[/tex3]

é polinomial e conhecida.

(De fato, a série infinita acima se reduz à uma soma finita)