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(Livro Calculo A) Derivadas

Enviado: Qua 03 Jan, 2018 18:11
por RinaldoEN19
O [tex3]\lim_{x \rightarrow 0^{+}}x^{\frac{3}{x^{4}+\ln x}}[/tex3] é ?

Re: (Livro Calculo A) Derivadas

Enviado: Qua 03 Jan, 2018 19:03
por Ronny
Vamos, temos que primeiramente esse limite substituindo pela tendencia, encontramos uma indeterminacao [tex3]0^0[/tex3] , logo uma vez que e esse tipo de indeterminacao podemos uma usar uma tecnica de logaritmizacao e depois compatibilizarmos com a Regra de L'hospital.

Seja [tex3]y= x^{\frac{3}{x^{4}+lnx}}[/tex3] ( aplicando logaritmo natural em ambos os lados teremos)
[tex3]lny= (\frac{3}{x^{4}+lnx}).lnx[/tex3]
logo nos pretendemos achar o limite de [tex3]y[/tex3] , mas primeiro vamos resolver o limite do lado Direito, que vai nos dar um ser resultado [tex3]R[/tex3] , logo o resultado procurado sera [tex3]y= e^{R}[/tex3] . Entao, vamos em busca do [tex3]R[/tex3] :

[tex3]\frac{3.lnx}{x^{4}+lnx}[/tex3] , substituindo por [tex3]0[/tex3] , temos uma indeterminacao de [tex3]|\frac{ \infty}{\infty} |[/tex3] , logo podemos usar a Regra de L'hospital, derivando em cima e em baixo, assim teremos:

[tex3]\frac{ 3.\frac{1}{x}}{4x^{3}+\frac{1}{x}} [/tex3] [tex3]\rightarrow \frac{3}{x.(4x^{3}+\frac{1}{x})}=\frac{3}{4x^{4}+1}=3=R [/tex3] , logo o resultado do limite sera [tex3]e^{R}= \boxed{e^{3}}[/tex3] respectivamente.

Espero ter ajudado !