Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Ronny** » Qua 03 Jan, 2018 16:53 · Mensagem não lida por **Ronny** » Qua 03 Jan, 2018 16:53

Considere os pontos [tex3]A=(1,1)[/tex3] ; [tex3]B=(4,5)[/tex3] e [tex3]C=(5,4)[/tex3] . Achar a Derivada direcional da funcao [tex3]f(x,y)= \sqrt{2}.x^{2}+(2\sqrt{2})y +5[/tex3] na direccao da bissectriz do angulo [tex3]BAC[/tex3] em [tex3]A[/tex3] .

Mensagem não lidapor **Ronny** » Qui 04 Jan, 2018 13:09 · Mensagem não lida por **Ronny** » Qui 04 Jan, 2018 13:09

Pessoal, vai uma ajudinha nessa questao?

Mensagem não lidapor **Ronny** » Qui 04 Jan, 2018 19:53 · Mensagem não lida por **Ronny** » Qui 04 Jan, 2018 19:53

CALCULEI E ACHEI 16/5. ALGUEM CONFIRMA? O COSSENO DO ANGULO DA BISSECTRIZ=[tex3]7/5\sqrt2[/tex3] E SENO DA BISSECTRIZ= [tex3]1/5\sqrt2[/tex3] .

Boa tarde!!!

Derivadas Parciais:
[tex3]\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\sqrt{2}\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\sqrt{2}[/tex3]

Gradiente:
[tex3]\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(2x\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)[/tex3]

Agora, na direção da bissetriz do ângulo BAC. Vamos calcular os versores [tex3]\vec{AB_0}[/tex3] e [tex3]\vec{AC_0}[/tex3] :
Vetor [tex3]\vec{AB}[/tex3] :
[tex3]\vec{AB}=(4-1,5-1)=(3,4)\\\vec{AB_0}=\dfrac{\vec{AB}}{\left\|\vec{AB}\right\|}\\\vec{AB_0}=\dfrac{(3,4)}{\sqrt{3^2+4^2}}\\\vec{AB_0}=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)[/tex3]

Agora o cetor [tex3]\vec{AC}[/tex3] :
[tex3]\vec{AC}=(5-1,4-1)=(4,3)\\\vec{AC_0}=\dfrac{\vec{AC}}{\left\|\vec{AC}\right\|}\\\vec{AC_0}=\dfrac{(4,3)}{\sqrt{4^2+3^2}}\\\vec{AC_0}=\left(\dfrac{4}{5};\dfrac{3}{5}\right)[/tex3]

Ao somarmos dois vetores unitários obtemos um vetor que está na bissetriz dos mesmos. Então:
[tex3]\vec{b}=\vec{AB_0}+\vec{AC_0}=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)+\left(\dfrac{4}{5};\dfrac{3}{5}\right)=\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{7}{5}\right)\\\vec{b_0}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Agora, calculando a derivada na direção solicitada:
[tex3]\left(\nabla f(1,1)\right)\cdot \vec{b_0} = \left(2x\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2x+2 = 2(1)+2= 4[/tex3]

Acho que está certo

Mensagem não lidapor **Ronny** » Seg 15 Jan, 2018 21:59 · Mensagem não lida por **Ronny** » Seg 15 Jan, 2018 21:59

Ola Amigo, vou te mostrar minha resolucao e peco para voce me dizer onde errei( pode avaliar, criticar, sugerir algo), ai vem:

Temos que [tex3]\vec AB=(3,4)[/tex3] ; [tex3]\vec AC=(4,3)[/tex3] , e por conhecimentos de Geometria Analitica, temos que [tex3]\vec AB*\vec AC=|AB|*|AC|.cos \alpha[/tex3] logo temos que [tex3]cos \alpha = 24/25[/tex3] . Temos que Bissectriz e [tex3]\frac{ \alpha}{2}[/tex3] , certo? Entao, temos que

[tex3]cos^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}*(1+cos \alpha)[/tex3] logo concluimos que [tex3]cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{7}{5\sqrt{2}}[/tex3] , ate aqui estamos juntos nue? entao vamos achar tambem o :

[tex3]sen^{2}(\frac{\alpha}{2})=1-cos^{2}(\frac{\alpha}{2})[/tex3] , logo concluimos que [tex3]sen(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{5\sqrt{2}}[/tex3] , concorda ate aqui? Acredito que esteja tudo correcto ate agora.

Agora basta aplicarmos a formula de derivada direcional:

[tex3]\dfrac{\partial f}{\partial \vec{n}}=\dfrac{\partial f}{\partial x}*cos(\frac{\alpha}{2})+\dfrac{\partial f}{\partial y}*sen(\frac{\alpha}{2})=\boxed{\frac{16}{5}}[/tex3] .

Colega Ronny,

Seu ângulo [tex3]\dfrac{\alpha}{2}[/tex3] é o semi-ângulo entre os dois vetores, o ângulo entre a bissetriz formada pelos dois vetores e um dos vetores, e não entrega a direção da bissetriz, que seria o ângulo entre o vetor bissetriz, por assim dizer, com o eixo x. Este é o ângulo (direção) procurado. Como pode ter percebido este ângulo vale [tex3]45^{\circ}[/tex3] .
Se quiser usar este ângulo [tex3]\dfrac{\alpha}{2}[/tex3] , encontre a soma do ângulo (com o eixo x) do vetor [tex3]\vec{AC}=(4,3)[/tex3] somado ao [tex3]\dfrac{\alpha}{2}[/tex3] . Este dará os [tex3]45^{\circ}[/tex3] . Deixo um desenho para ajudar a visualizar melhor!

: Somatório de vetores; Captura de Tela 2018-01-15 às 22.05.24.png (101.27 KiB) Exibido 1675 vezes

Espero ter ajudado!

Mensagem não lidapor **Ronny** » Ter 16 Jan, 2018 00:31 · Mensagem não lida por **Ronny** » Ter 16 Jan, 2018 00:31

tA CERTO MANO !! Tu me convenceu

, acho que o importante mesmo era ter ess definicao que eu nem dei conta dela: A soma de dois vectores unitarios, entrega-nos um vector que forma uma bissectriz dos mesmos.

Errei no meu teste entao

Mensagem não lidapor **Ronny** » Ter 16 Jan, 2018 00:33 · Mensagem não lida por **Ronny** » Ter 16 Jan, 2018 00:33

Isso pode ser demonstrado? E algum teorema, propriedade, axioma ?? ...

Vou fazer uma prova vetorial:

Suponha dois vetores, [tex3]\vec{v_1}[/tex3] e [tex3]\vec{v_2}[/tex3] , ambos unitários e com ângulo [tex3]\theta[/tex3] entre eles.
O vetor soma é o seguinte:
[tex3]\vec{v}=\vec{v_1}+\vec{v_2}[/tex3]

Vamos lembrar como se calcula o ângulo entre dois vetores:
[tex3]\cos\theta=\dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v_1}\right\|\;\left\|\vec{v_2}\right\|}[/tex3]

Ou seja, produto interno dividido pelo produto entre os módulos dos vetores.

Produto interno entre vetores:
[tex3]\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}=\left\|\vec{v_1}\right\|\;\left\|\vec{v_1}\right\|\cos 0^{\circ}=1[/tex3] , pois é um vetor unitário.
[tex3]\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}=\left\|\vec{v_2}\right\|\;\left\|\vec{v_2}\right\|\cos 0^{\circ}=1[/tex3] , pois é um vetor unitário.

Vamos calcular o ângulo entre [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{v_2}[/tex3] e entre [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{v_2}[/tex3] .
[tex3]\cos\alpha=\dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v}}{\left\|\vec{v_1}\right\|\;\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}+\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{1+\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v}\right\|}\\\cos\beta=\dfrac{\vec{v_2}\cdot\vec{v}}{\left\|\vec{v_2}\right\|\;\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{\vec{v_2}\cdot\vec{v_1}+\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{\vec{v_2}\cdot\vec{v_1}+1}{\left\|\vec{v}\right\|}[/tex3]

Percebe como são os mesmos?

Assim, prova-se que o ângulo entre a soma de dois vetores unitários é um vetor que sai pela bissetriz dos dois.

Espero ter ajudado!

Obs.: Deve ter prova mais fácil... mas gostei de escrever isso aqui

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