Vou fazer uma prova vetorial:
Suponha dois vetores, [tex3]\vec{v_1}[/tex3]
e [tex3]\vec{v_2}[/tex3]
, ambos unitários e com ângulo [tex3]\theta[/tex3]
entre eles.
O vetor soma é o seguinte:
[tex3]\vec{v}=\vec{v_1}+\vec{v_2}[/tex3]
Vamos lembrar como se calcula o ângulo entre dois vetores:
[tex3]\cos\theta=\dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v_1}\right\|\;\left\|\vec{v_2}\right\|}[/tex3]
Ou seja, produto interno dividido pelo produto entre os módulos dos vetores.
Produto interno entre vetores:
[tex3]\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}=\left\|\vec{v_1}\right\|\;\left\|\vec{v_1}\right\|\cos 0^{\circ}=1[/tex3]
, pois é um vetor unitário.
[tex3]\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}=\left\|\vec{v_2}\right\|\;\left\|\vec{v_2}\right\|\cos 0^{\circ}=1[/tex3]
, pois é um vetor unitário.
Vamos calcular o ângulo entre [tex3]\vec{v}[/tex3]
e [tex3]\vec{v_2}[/tex3]
e entre [tex3]\vec{v}[/tex3]
e [tex3]\vec{v_2}[/tex3]
.
[tex3]\cos\alpha=\dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v}}{\left\|\vec{v_1}\right\|\;\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}+\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{1+\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v}\right\|}\\\cos\beta=\dfrac{\vec{v_2}\cdot\vec{v}}{\left\|\vec{v_2}\right\|\;\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{\vec{v_2}\cdot\vec{v_1}+\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}}{\left\|\vec{v}\right\|}=\dfrac{\vec{v_2}\cdot\vec{v_1}+1}{\left\|\vec{v}\right\|}[/tex3]
Percebe como são os mesmos?
Assim, prova-se que o ângulo entre a soma de dois vetores unitários é um vetor que sai pela bissetriz dos dois.
Espero ter ajudado!
Obs.: Deve ter prova mais fácil... mas gostei de escrever isso aqui