Demonstre a desigualdade seguinte, utilizando a teoria sobre extremos locais que:
[tex3]cosx>1-\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
, para [tex3]x \neq 0[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Teoria dos Extremos Locais Tópico resolvido
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Andre13000 
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Dez 2017
28
21:09
Re: Teoria dos Extremos Locais
Fazendo [tex3]f(x)=\cos x[/tex3]
e [tex3]g(x)=1-\frac{x^2}{2}[/tex3]
, temos:
[tex3]f'(x)=-\sen x[/tex3] e [tex3]g'(x)=-x[/tex3]
Quando estamos em x=0, as duas funções tem o mesmo valor. Sabemos que [tex3]|x|\geq |\sen x|[/tex3] , e portanto a derivada de g é sempre menor que a derivada de x para x positivo. Como a intersecção das funções acontece em x=0, está provada a desigualdade. Outro jeito de interpretar o problema é da seguinte forma:
Por ventura imagine a integração de uma certa função [tex3]f'(x)[/tex3] .
[tex3]\int_a^x f'(t)dt=f(x)-f(a)\\
f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt[/tex3]
Se fizermos integração por partes: [tex3]u=f'(t)[/tex3] e [tex3]dv=dt[/tex3]
[tex3]f(x)=f(a)+xf'(x)-af'(a)-\int_a^x tf''(t)dt\\
xf'(x)=xf'(a)+x\int_a^x f''(t)dt\\
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int_a^x (x-t)f''(t)\\
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^3}{3!}f'''(t)dt[/tex3]
Fazendo [tex3]a=0[/tex3] e [tex3]f(x)=\cos x[/tex3] temos:
[tex3]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\int_0^x \frac{(x-t)^3}{3!}\sen t ~dt[/tex3]
Claramente essa integral é sempre positiva.
[tex3]f'(x)=-\sen x[/tex3] e [tex3]g'(x)=-x[/tex3]
Quando estamos em x=0, as duas funções tem o mesmo valor. Sabemos que [tex3]|x|\geq |\sen x|[/tex3] , e portanto a derivada de g é sempre menor que a derivada de x para x positivo. Como a intersecção das funções acontece em x=0, está provada a desigualdade. Outro jeito de interpretar o problema é da seguinte forma:
Por ventura imagine a integração de uma certa função [tex3]f'(x)[/tex3] .
[tex3]\int_a^x f'(t)dt=f(x)-f(a)\\
f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt[/tex3]
Se fizermos integração por partes: [tex3]u=f'(t)[/tex3] e [tex3]dv=dt[/tex3]
[tex3]f(x)=f(a)+xf'(x)-af'(a)-\int_a^x tf''(t)dt\\
xf'(x)=xf'(a)+x\int_a^x f''(t)dt\\
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int_a^x (x-t)f''(t)\\
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^3}{3!}f'''(t)dt[/tex3]
Fazendo [tex3]a=0[/tex3] e [tex3]f(x)=\cos x[/tex3] temos:
[tex3]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\int_0^x \frac{(x-t)^3}{3!}\sen t ~dt[/tex3]
Claramente essa integral é sempre positiva.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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