Ensino Superior

Suponha que [tex3]f[/tex3] seja uma função que satisfaça a equação

[tex3]f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2y+xy^2[/tex3]

para todos os números reais [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] . Suponha também que

[tex3]\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1[/tex3]

a) Encontre [tex3]f(0)[/tex3] .

b) Encontre [tex3]f'(0)[/tex3] .

c) Encontre [tex3]f'(x)[/tex3] .

Coloquei a questão completa, mas o que eu queria saber mesmo é como resolver essa equação funcional, passo a passo.

Não precisa resolver, mano.
a) [tex3]f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 0 + 0 \Longrightarrow f(0) = 0 [/tex3]
b) [tex3]f(x+h) = f(x) + f(h) + x^2 h +x h^2 \Longrightarrow \frac{f(x+h) -f(x) }{h} = \frac{f(h)}{h} + x^2 + xh \Longrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) }{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{f(h) }{h} + x^2 + 0 [/tex3]
de modo que [tex3]f'(x) = 1+x^2[/tex3] .
Portanto, f'(0) = 1.

O mais legal é que agora podemos encontrar a função f.
[tex3]f'(x) = 1+x^2 \Longrightarrow f(x) = \int (1+x^2) dx + k \Longrightarrow f(x) = x+ \frac 1 3 x^3 + k [/tex3]
mas f(0) = 0, de modo que k = 0. Assim, [tex3]f(x) = x + \frac 1 3 x^3[/tex3]
Veja que,
[tex3]f(x+y) = (x+y) + \frac 1 3 (x+y)^3 = (x+y) + \frac 1 3 (x^3 + 3x^2y+3xy^2 + y^3 ) = (x+\frac 1 3 x^3) +(y+\frac 1 3 y^3) +x^2y +
xy^2 \\ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y+xy^2[/tex3]

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