Ensino Superior ⇒ (Livro Calculo A ) - Limites Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Calcular o [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3^{\frac{x-1}{4}}-1}{\sen [5(x-1)]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3^{\frac{x-1}{4}}-1}{\sen [5(x-1)]}[/tex3]

. nao estou conseguindo sumir com esse seno

[PedroCunha]

Bom dia, Rinaldo.

Podemos resolver esse limite por L'Hôpital (fazendo [tex3]x-1 = u [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1 = u [/tex3]

):

[tex3]

\lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} - 1}{\sin(5u)} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \ln 3}{\cos(5u) \cdot 5} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \ln 3}{20 \cdot \cos(5u)} = \boxed{\boxed{ \frac{\ln 3}{20} }}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

\lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} - 1}{\sin(5u)} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \ln 3}{\cos(5u) \cdot 5} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \ln 3}{20 \cdot \cos(5u)} = \boxed{\boxed{ \frac{\ln 3}{20} }}

[/tex3]

Abraços,
Pedro

¹Estou tentando pensar em alguma maneira de resolver esse limite sem utilizar derivadas

[RinaldoEN19]

Bom dia, Rinaldo.

Podemos resolver esse limite por L'Hôpital (fazendo [tex3]x-1 = u [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1 = u [/tex3]

):

[tex3]

\lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} - 1}{\sin(5u)} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \ln 3}{\cos(5u) \cdot 5} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \ln 3}{20 \cdot \cos(5u)} = \boxed{\boxed{ \frac{\ln 3}{20} }}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

\lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} - 1}{\sin(5u)} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \ln 3}{\cos(5u) \cdot 5} = \lim_{u \to 0} \frac{3^\frac{u}{4} \cdot \ln 3}{20 \cdot \cos(5u)} = \boxed{\boxed{ \frac{\ln 3}{20} }}

[/tex3]

Abraços,
Pedro

¹Estou tentando pensar em alguma maneira de resolver esse limite sem utilizar derivadas

Obrigado mais uma vez Pedro, se conseguir resolver sem derivada coloca ai tb.

[Ittalo25]

Partindo do limite fundamental: [tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x} = ln(a)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x} = ln(a)[/tex3]

, é natural fazer a substituição: [tex3]\frac{x-1}{4} = y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x-1}{4} = y[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3^{\frac{x-1}{4}}-1}{\sen [5(x-1)]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3^{\frac{x-1}{4}}-1}{\sen [5(x-1)]}[/tex3]

[tex3]\lim_{y \rightarrow 0}\frac{3^{y}-1}{\sen [20y]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{y \rightarrow 0}\frac{3^{y}-1}{\sen [20y]}[/tex3]

[tex3]\lim_{y \rightarrow 0}\frac{\frac{3^{y}-1}{20y}}{\frac{\sen [20y]}{20y}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{y \rightarrow 0}\frac{\frac{3^{y}-1}{20y}}{\frac{\sen [20y]}{20y}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{ln(3)}{20}}{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{ln(3)}{20}}{1}[/tex3]

[tex3]\boxed {\frac{ln(3)}{20}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed {\frac{ln(3)}{20}}[/tex3]