(Livro Calculo A ) - Limites
Enviado: Qui 14 Dez, 2017 01:33
Calcule o limite de f(x)=(x-3)[tex3]\csc \pi x[/tex3]
quando x [tex3]\rightarrow 3[/tex3]
Bom dia!
Podemos reescrever o limite e usar a regra de L'Hôpital para resolvê-lo:
[tex3]
\lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \csc (\pi \cdot x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sin(\pi \cdot x)}
[/tex3]
Aplicando L'Hôpital, temos:
[tex3]
\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sin(\pi \cdot x)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)'}{[\sin(\pi \cdot x)]'} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{\cos(\pi \cdot x) \cdot \pi} = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{\pi} }}
[/tex3]
Abraços,
Pedro.
**Solução sem L'Hôpital:
fazendo [tex3]x-3 = u [/tex3]
, o limite fica:
[tex3]
\lim_{u \to 0} u \cdot \csc (\pi \cdot (u+3)) = \lim_{u \to 0} u \cdot \csc(\pi \cdot u + 3\pi) = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin(\pi \cdot u + 3\pi)}
[/tex3]
note que:
[tex3]
\sin(\pi \cdot u + 3\pi) = \sin(\pi \cdot u) \cdot \cos(3\pi) + \cos(\pi \cdot u) \cdot \sin(3\pi) = -\sin(\pi \cdot u)
[/tex3]
então:
[tex3]
\lim_{u \to 0} \frac{u}{-\sin(\pi \cdot u)} = \lim_{u \to 0} -\frac{1}{\pi} \cdot \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)} = -\frac{1}{\pi} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)}
[/tex3]
como [tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{\sin x}} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}} = 1 [/tex3]
, segue que:
[tex3]
-\frac{1}{\pi} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)} = -\frac{1}{\pi}
[/tex3]
logo [tex3]\lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \csc(x \cdot \pi) = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{\pi} }} [/tex3]
entendi a resolução