Ensino Superior ⇒ (Livro Calculo A ) - Limites Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Calcule o limite de f(x)=(x-3)[tex3]\csc \pi x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\csc \pi x[/tex3]

quando x [tex3]\rightarrow 3[/tex3]

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[tex3]\rightarrow 3[/tex3]

[PedroCunha]

Bom dia!

Podemos reescrever o limite e usar a regra de L'Hôpital para resolvê-lo:

[tex3]

\lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \csc (\pi \cdot x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sin(\pi \cdot x)}

[/tex3]

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[tex3]

\lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \csc (\pi \cdot x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sin(\pi \cdot x)}

[/tex3]

Aplicando L'Hôpital, temos:

[tex3]

\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sin(\pi \cdot x)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)'}{[\sin(\pi \cdot x)]'} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{\cos(\pi \cdot x) \cdot \pi} = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{\pi} }}

[/tex3]

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[tex3]

\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sin(\pi \cdot x)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)'}{[\sin(\pi \cdot x)]'} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{\cos(\pi \cdot x) \cdot \pi} = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{\pi} }}

[/tex3]

Abraços,
Pedro.

**Solução sem L'Hôpital:

fazendo [tex3]x-3 = u [/tex3]

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[tex3]x-3 = u [/tex3]

, o limite fica:

[tex3]

\lim_{u \to 0} u \cdot \csc (\pi \cdot (u+3)) = \lim_{u \to 0} u \cdot \csc(\pi \cdot u + 3\pi) = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin(\pi \cdot u + 3\pi)}

[/tex3]

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[tex3]

\lim_{u \to 0} u \cdot \csc (\pi \cdot (u+3)) = \lim_{u \to 0} u \cdot \csc(\pi \cdot u + 3\pi) = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin(\pi \cdot u + 3\pi)}

[/tex3]

note que:

[tex3]

\sin(\pi \cdot u + 3\pi) = \sin(\pi \cdot u) \cdot \cos(3\pi) + \cos(\pi \cdot u) \cdot \sin(3\pi) = -\sin(\pi \cdot u)

[/tex3]

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[tex3]

\sin(\pi \cdot u + 3\pi) = \sin(\pi \cdot u) \cdot \cos(3\pi) + \cos(\pi \cdot u) \cdot \sin(3\pi) = -\sin(\pi \cdot u)

[/tex3]

então:

[tex3]

\lim_{u \to 0} \frac{u}{-\sin(\pi \cdot u)} = \lim_{u \to 0} -\frac{1}{\pi} \cdot \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)} = -\frac{1}{\pi} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

\lim_{u \to 0} \frac{u}{-\sin(\pi \cdot u)} = \lim_{u \to 0} -\frac{1}{\pi} \cdot \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)} = -\frac{1}{\pi} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)}

[/tex3]

como [tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{\sin x}} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}} = 1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{\sin x}} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}} = 1 [/tex3]

, segue que:

[tex3]

-\frac{1}{\pi} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)} = -\frac{1}{\pi}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

-\frac{1}{\pi} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u \cdot \pi}{\sin(u \cdot \pi)} = -\frac{1}{\pi}

[/tex3]

logo [tex3]\lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \csc(x \cdot \pi) = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{\pi} }} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \csc(x \cdot \pi) = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{\pi} }} [/tex3]

[RinaldoEN19]

Vlwww Pedro entendi a resolução