Ensino Superior

Não consigo entender como eu determino a distância entre o centro de massa e os eixos x e y para encontrar x~ e ~y para que eu continue a resolução.
Se alguém puder me explica nesse exemplo:
Exercício do livro do Thomas, vol 1
Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante que cobre a região dada:
A região limitada pela parábola y=[tex3]x^{2}[/tex3] e pela reta y=4

Outro exemplo seria: Região limitada superiormente pela parábola y= 4-[tex3]x^{2}[/tex3] e inferiormente pelo eixo x
Sei que x~ e y~ seriam (x, [tex3]\frac{4-x^{2}}{2}[/tex3] mas não compreendo o porque.
Obrigada.

Observe

Solução:

: 15906325125506435064741098822208.jpg (257.87 KiB) Exibido 914 vezes

Como a distribuição de massa é simétrica em torno do eixo y, então [tex3]\overline{x}=0[/tex3] .

Do gráfico podemos extrair que

• Centro de massa ( c.m. ) : [tex3](\tilde{x}
,\tilde{y} )=\left(x,\frac{4+x^2}{2}\right)[/tex3]

• Comprimento : 4 - x²

• Largura : dx

• Área : dA = ( 4 - x² ) dx

• Massa : dm = δ dA = δ( 4 - x² ) dx

• distância de c.m. a parábola y = x²: [tex3]\tilde{y} =\frac{4+x^2}{2}[/tex3] ( média aritmética das retas y = 4 e y = x² ).

• O intervalo de x varia de - 2 a 2( ver gráfico ).

O momento da faixa em torno do eixo x é

[tex3]\tilde{y} \ dm=\frac{4+x^2}{2}.\delta (4-x^2) \ dx=\frac{\delta }{2}(16-x^4) \ dx. [/tex3]

O momento da placa em torno do eixo x é

[tex3]M_{x}=\int\limits_{}^{} \ \tilde{y} \ dm[/tex3]

[tex3]M_{x}=\frac{\delta }{2}.\int\limits_{-2}^{2}(16-x^4) \ dx [/tex3]

[tex3]M_{x}=\frac{\cancel{2}.\delta }{\cancel{2}}.\int\limits_{0}^{2}(16-x^4) \ dx [/tex3]

[tex3]M_{x}={\delta}.[16x-\frac{x^5}{5}]_{0}^{2}[/tex3]

Desenvolvendo, resulta;

[tex3]M_{x}=\frac{128\delta}{5}[/tex3]

Ainda,

[tex3]M=\int\limits_{}^{} \ dm[/tex3]

[tex3]M=\delta .\int\limits_{-2}^{2}(4-x^2) \ dx [/tex3]

[tex3]M=2\delta .\int\limits_{0}^{2}(4-x^2) \ dx [/tex3]

[tex3]M=2\delta.[4x-\frac{x^3}{3}]_{0}^{2}[/tex3]

Desenvolvendo, resulta;

[tex3]M=\frac{32\delta}{3}[/tex3]

Assim,

[tex3]\overline{y}=\frac{M_{x}}{M}=
\frac{128\delta }{5}.\frac{3}{32\delta }[/tex3]

[tex3]\overline{y}=\frac{12}{5}[/tex3] .

Portanto, o centro de massa da placa é [tex3](\overline{x},\overline{y})=\left(0,\frac{12}{5}\right)[/tex3]

Resumo:

•Centro de massa ( c.m. ) : c.m. ) : [tex3](\tilde{x},\tilde{y} )=\left(x,\frac{1}{2}.[f(x)+g(x)]\right)[/tex3]

• Comprimento: f( x ) - g( x )

• Largura : dx

• Área : dA = [ f( x ) - g( x ) ] dx

• Massa : dm = δ dA → dm = δ.[ f( x ) - g( x ) ] dx

• O momento da placa em torno do eixo y é :

[tex3]M_{y}=\int\limits_{}^{}x \ dm[/tex3]

[tex3]M_{y}=\int\limits_{a}^{b}x\delta [f(x)-g(x)] \ dx [/tex3]

• O momento da placa em torno do eixo x é :

[tex3]M_{x}=\int\limits_{}^{}y \ dm[/tex3]

[tex3]M_{x}=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{2}.[f(x)+g(x)].\delta [f(x)-g(x)] \ dx [/tex3]

[tex3]M_{x}=\int\limits_{a}^{b}\frac{\delta }{2}.[f^2(x)-g^2(x)] \ dx [/tex3]

Esses momentos fornecem as fórmulas:

[tex3]\overline{x}=\frac{1}{M}.\int\limits_{a}^{b}
\delta x.[f(x)-g(x)] \ dx [/tex3]

e

[tex3]\overline{y}=\frac{1}{M}.\int\limits_{a}^{b}
\frac{\delta }{2}[f^2(x)-g^2(x)] \ dx [/tex3]

• Cálculo do momento:

[tex3]M=\int\limits_{}^{} \ dm =\int\limits_{}^{}\delta \ dA [/tex3]

• [tex3]\overline{x}=\frac{M_{y}}{M}[/tex3] e [tex3]\overline{y}=\frac{M_{x}}{M}[/tex3] .

Obs. A sua outra dúvida , segue o mesmo raciocínio da resolução acima! Pronto! Agora é com você, papel e caneta na mão.

Bons estudos!

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