Ensino Superior ⇒ Lugares geométricos Tópico resolvido

[gabrielb44]

Alguém poderia me ajudar com essa questão, por favor?

"Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença entre sua distância a (−4, 3, 1) e (4, 3, 1) seja igual a 6."

Eu não consegui fazer essa pois eu só tinha feito anteriormente quando o enunciado diz que a diferença dos quadrados das distâncias é uma constante.
Se usar a mesma lógica, de igualar d(P,A) - d(P,B) = 6, e depois elevar tudo ao quadrado, fica:

[tex3]d^{2}(P,A) - 2(d(P,A)*d(P,B))+d^2(P,B) =36[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d^{2}(P,A) - 2(d(P,A)*d(P,B))+d^2(P,B) =36[/tex3]

Dessa forma a equação fica inviável de ser resolvida algebricamente.

Desde já agradeço.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Sejam P = ( x , y , z ) , A = ( - 4 , 3 , 1 ) e B = ( 4 , 3 , 1 ), de acordo com o enunciado temos que

[tex3]d_{P,A}-d_{P,B}=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{P,A}-d_{P,B}=6[/tex3]

[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} -\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} = 6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} -\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} = 6[/tex3]

[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}=6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}=6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}[/tex3]

[tex3][\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2=[6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2=[6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2[/tex3]

[tex3](x+4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}=36+12\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}+(x-4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}=36+12\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}+(x-4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}[/tex3]

16x - 36 = 12√[ ( x - 4 )^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 1 )^2 ]

( 4x - 9 )^2 = { 3√[ ( x - 4 )^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 1 )^2 ] }^2

16x² - 72x + 81 = 9.( x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 + z² - 2z + 1 )

16x² - 72x + 81 = 9x² - 72x + 9y² - 54y + 9z² - 18z + 234

7x² - 9y² + 54y - 9z² + 18z = 153

7x² - 9y² + 54y - 81 - 9z² + 18z - 9 = 153 - 81 - 9

7x² - 9.( y² - 6y + 9 ) - 9.( z² - 2z + 1 ) = 63

7x² - 9.( y - 3 )^2 - 9.( z - 1 )^2 = 63

[tex3]\frac{7x^2}{63}-\frac{9(y-3)^2}{63}-\frac{9(z-1)^2}{63}=\frac{63}{63}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{7x^2}{63}-\frac{9(y-3)^2}{63}-\frac{9(z-1)^2}{63}=\frac{63}{63}[/tex3]

[tex3]\frac{x^2}{\frac{63}{7}}-\frac{(y-3)^2}{\frac{63}{9}}-\frac{(z-1)^2}{\frac{63}{9}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2}{\frac{63}{7}}-\frac{(y-3)^2}{\frac{63}{9}}-\frac{(z-1)^2}{\frac{63}{9}}=1[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{x^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]

Ou

[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]

Assim, a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença entre sua distância a (− 4 , 3 , 1 ) e ( 4 , 3 , 1 ) seja igual a 6, é
[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]

, ou seja , trata-se de um hiperbolóide de duas folhas.


Bons estudos!