Alguém poderia me ajudar com essa questão, por favor?
"Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença entre sua distância a (−4, 3, 1) e (4, 3, 1) seja igual a 6."
Eu não consegui fazer essa pois eu só tinha feito anteriormente quando o enunciado diz que a diferença dos quadrados das distâncias é uma constante.
Se usar a mesma lógica, de igualar d(P,A) - d(P,B) = 6, e depois elevar tudo ao quadrado, fica:
[tex3]d^{2}(P,A) - 2(d(P,A)*d(P,B))+d^2(P,B) =36[/tex3]
Dessa forma a equação fica inviável de ser resolvida algebricamente.
Desde já agradeço.
Ensino Superior ⇒ Lugares geométricos Tópico resolvido
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25
19:04
Re: Lugares geométricos
Observe
Solução:
Sejam P = ( x , y , z ) , A = ( - 4 , 3 , 1 ) e B = ( 4 , 3 , 1 ), de acordo com o enunciado temos que
[tex3]d_{P,A}-d_{P,B}=6[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} -\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} = 6[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}=6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}[/tex3]
[tex3][\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2=[6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2[/tex3]
[tex3](x+4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}=36+12\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}+(x-4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}[/tex3]
16x - 36 = 12√[ ( x - 4 )² + ( y - 3 )² + ( z - 1 )² ]
( 4x - 9 )² = { 3√[ ( x - 4 )² + ( y - 3 )² + ( z - 1 )² ] }²
16x² - 72x + 81 = 9.( x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 + z² - 2z + 1 )
16x² - 72x + 81 = 9x² - 72x + 9y² - 54y + 9z² - 18z + 234
7x² - 9y² + 54y - 9z² + 18z = 153
7x² - 9y² + 54y - 81 - 9z² + 18z - 9 = 153 - 81 - 9
7x² - 9.( y² - 6y + 9 ) - 9.( z² - 2z + 1 ) = 63
7x² - 9.( y - 3 )² - 9.( z - 1 )² = 63
[tex3]\frac{7x^2}{63}-\frac{9(y-3)^2}{63}-\frac{9(z-1)^2}{63}=\frac{63}{63}[/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{\frac{63}{7}}-\frac{(y-3)^2}{\frac{63}{9}}-\frac{(z-1)^2}{\frac{63}{9}}=1[/tex3]
Logo,
[tex3]\frac{x^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]
Ou
[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]
Assim, a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença entre sua distância a (− 4 , 3 , 1 ) e ( 4 , 3 , 1 ) seja igual a 6, é
[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3] , ou seja , trata-se de um hiperbolóide de duas folhas.
Bons estudos!
Solução:
Sejam P = ( x , y , z ) , A = ( - 4 , 3 , 1 ) e B = ( 4 , 3 , 1 ), de acordo com o enunciado temos que
[tex3]d_{P,A}-d_{P,B}=6[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} -\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2} = 6[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}=6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}[/tex3]
[tex3][\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2=[6+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}]^2[/tex3]
[tex3](x+4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}=36+12\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2+(z-1)^2}+(x-4)^2+\cancel{(y-3)^2}+\cancel{(z-1)^2}[/tex3]
16x - 36 = 12√[ ( x - 4 )² + ( y - 3 )² + ( z - 1 )² ]
( 4x - 9 )² = { 3√[ ( x - 4 )² + ( y - 3 )² + ( z - 1 )² ] }²
16x² - 72x + 81 = 9.( x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 + z² - 2z + 1 )
16x² - 72x + 81 = 9x² - 72x + 9y² - 54y + 9z² - 18z + 234
7x² - 9y² + 54y - 9z² + 18z = 153
7x² - 9y² + 54y - 81 - 9z² + 18z - 9 = 153 - 81 - 9
7x² - 9.( y² - 6y + 9 ) - 9.( z² - 2z + 1 ) = 63
7x² - 9.( y - 3 )² - 9.( z - 1 )² = 63
[tex3]\frac{7x^2}{63}-\frac{9(y-3)^2}{63}-\frac{9(z-1)^2}{63}=\frac{63}{63}[/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{\frac{63}{7}}-\frac{(y-3)^2}{\frac{63}{9}}-\frac{(z-1)^2}{\frac{63}{9}}=1[/tex3]
Logo,
[tex3]\frac{x^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]
Ou
[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3]
Assim, a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença entre sua distância a (− 4 , 3 , 1 ) e ( 4 , 3 , 1 ) seja igual a 6, é
[tex3]\frac{(x-0)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}-\frac{(z-1)^2}{7}=1[/tex3] , ou seja , trata-se de um hiperbolóide de duas folhas.
Bons estudos!
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