Ensino SuperiorDemonstração - Fórmula de Euler-Maclaurin

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Andre13000
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Demonstração - Fórmula de Euler-Maclaurin

Mensagem não lida por Andre13000 »

Estava lendo um livro do grande Euler quando dei cara com uma "simples" derivação da fórmula de soma de Euler, então decidi compartilhar :D

A fórmula de Euler-Maclaurin é muito conhecida por possibilitar expansões assintóticas de expressões que transcendem as funções elementares. É utilizada para obter uma aproximação para o enésimo Harmônico, fatorial, ou aproximar o valor de uma série, tomando ainda um papel protagonista na teoria das séries divergentes de Ramanujan.

Comecemos notando que a expansão para [tex3]f(x-a)[/tex3] pela série de Taylor:

[tex3]f(x+a)=\sum_{k=0}^\infty \frac{a^kf^k(x)}{k!}[/tex3]

Ao colocar [tex3]a=-1 [/tex3] , se obtém:

[tex3]f(x-1)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k f^k(x)}{k!}[/tex3]

Agora deve-se usar a ideia de telescopia ao seu favor:

[tex3]f(x)-f(x-1)=f(x)-\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n f^k(x)}{k!}\\
f(x)-f(x-1)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}f^k(x)}{k!}[/tex3]

Toma-se o somatório dos dois lados com x variando de um até n:

[tex3]\sum_{x=1}^n \Big[ f(x)-f(x-1)\Big] =\sum_{x=1}^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} f^{k} (x)}{k!}\\
f(n)-f(0)=\sum_{x=1}^n f'(x)-\frac{1}{2!}\sum_{x=1}^n f''(x)+\frac{1}{3!}\sum_{x=1}^n f'''(x)-\dots\\
\sum_{x=1}^n f'(x)=f(n)-f(0)+\frac{1}{2!}\sum_{x=1}^n f''(x)-\frac{1}{3!}\sum_{x=1}^n f'''(x)+\dots[/tex3]

Agora substituindo [tex3]f'(x)\to f(x)[/tex3] a gente vê que:

[tex3]\sum_{x=1}^n f(x)=C+\int _0^n f(x)dx+\frac{1}{2!}\sum_{x=1}^n f'(x)-\frac{1}{3!}\sum_{x=1}^n f''(x)+\dots [/tex3]

ou podemos substituir [tex3]f'(x)\to f''(x)[/tex3] e obter:

[tex3]f'(n)-f'(0)=\sum_{x=1}^n f''(x)-\frac{1}{2!}\sum_{x=1}^n f'''(x)+\frac{1}{3!}\sum_{x=1}^n f''''(x)-\dots\\
f''(n)-f''(0)=\sum_{x=1}^n f'''(x)-\frac{1}{2!}\sum_{x=1}^n f''''(x)+\frac{1}{3!}\sum_{x=1}^n f'''''(x)-\dots\\
f'''(n)-f'''(0)=\sum_{x=1}^n f''''(x)-\frac{1}{2!}\sum_{x=1}^n f'''''(x)+\frac{1}{3!}\sum_{x=1}^n f''''''(x)-\dots
[/tex3]

Suponha que possamos reescrever a equação com a constante C desta forma:

[tex3]\sum_{x=1}^n f(x)=\int_0^n f(x)dx+\alpha(f(n)-f(0)]+\beta [f'(n)-f'(0)]+\gamma[f''(n)-f''(0)]+\vartheta[f'''(n)-f'''(0)]+\dots\\
\sum_{x=1}^n f(x)=C+\int_0^nf(x)dx+\\
\alpha\sum_{x=1}^n f'(x)-\frac{\alpha}{2!}\sum_{x=1}^n f''(x)+\frac{\alpha}{3!}\sum_{x=1}^n f'''(x)-\frac{\alpha}{4!}\sum_{x=1}^n f''''(x)\dots\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\beta\sum_{x=1}^n f''(x)-\frac{\beta}{2!}\sum_{x=1}^n f'''(x)+\frac{\beta}{3!}\sum_{x=1}^n f''''(x)-\dots\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\gamma\sum_{x=1}^n f'''(x)-\frac{\gamma}{2!}\sum_{x=1}^n f''''(x)+\dots\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\vartheta\sum_{x=1}^n f''''(x)-\dots[/tex3]

[tex3]\alpha=\frac{1}{2!}\\
\beta-\frac{\alpha}{2!}=-\frac{1}{3!}\\
{\gamma}-\frac{\beta}{2!}+\frac{\alpha}{3!}=\frac{1}{4!}\\
\vartheta-\frac{\gamma}{2!}+\frac{\beta}{3!}-\frac{\alpha}{4!}=\frac{1}{5!}
[/tex3]

Temos que [tex3]\alpha=\frac{1}{2}~;~\beta=\frac{1}{12}~;~\gamma=0~;~\vartheta=-\frac{1}{720}~;~\text{etc.}[/tex3]

Portanto podemos escrever

[tex3]\sum_{x=1}^n f(x)=\int_0^n f(x)dx+\frac{1}{2}\Big[f(x)\Big]_0^n+\frac{1}{12} \Big[f'(x)\Big]_0^n-\frac{1}{720}\Big[f'''(x)\Big]_0^n+\dots[/tex3]

ou

[tex3]\sum_{x=1}^n f(x)=C+\int f(n)dn+f(n)+\frac{1}{12} f'(n)-\frac{1}{720}f'''(n)+\dots[/tex3]

Onde C é uma constante a ser especificada.

Simbolicamente temos o seguinte:

Primeiro defina os operadores [tex3]\nabla[/tex3] , [tex3]E[/tex3] e [tex3]D[/tex3] , tal que [tex3]\nabla f(x)=f(x)-f(x-1)[/tex3] , [tex3]Ef(x)=f(x+1)[/tex3] e [tex3]Df(x)=f'(x)[/tex3] . Deduziremos algumas relações:

[tex3]\nabla f(x)=f(x)-f(x-1)\\
\sum_{k=1}^n \nabla f(x)=f(n)-f(0)\\
\nabla f(x)=g(x)\to f(x)=\nabla^{-1}g(x)\\
\sum_{k=1}^n g(x)=\nabla^{-1}g(x)\Big|_0^n[/tex3]

Essa é a relação fundamental. Ainda:

[tex3]f(x+1)=Ef(x)=f(x)+f'(x)+\frac{f''(x)}{2!}+\frac{f'''(x)}{3!}+\dots=\(1+D+\frac{D^2}{2!}+\frac{D^3}{3!}+\dots\)f(x)\\
Ef(x)=e^Df(x)\\
E=e^D\\
E^{-1}f(x)=f(x-1)=-(f(x)-f(x-1))+f(x)=f(x)-\nabla f(x)\\
E^{-1}=1-\nabla\\
\nabla^{-1}=\frac{1}{1-E^{-1}}=\frac{1}{1-e^{-D}}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\sum_{k=1}^n f(k)=\nabla^{-1}f(x)\Big|_0^n=\frac{1}{1-e^{-D}}f(x)\Big|_0^n[/tex3]

Podemos expandir em uma série de D a função respectiva. Fazendo isso se obtém:

[tex3]\sum_{k=1}^n f(k)=D^{-1}f(x)\Big|_0^n+\frac{f(x)}{2}\Big|_0^n+\frac{Df(x)}{12}\Big|_0^n-\frac{D^3f(x)}{720}\Big|_0^n+\dots[/tex3]

Que é exatamente o resultado esperado.

Última edição: Andre13000 (Dom 10 Dez, 2017 10:38). Total de 2 vezes.


“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

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