Ensino Superior

paulafabiana

∫∫ cos(y-x/y+x) dA, onde R é a região do trapezoidal com vértices (1,0) (2,0) (0,2)(0,1). Considere u= y-x e v= y+x

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 21 Nov 2018, 22:08 · 21 Nov 2018, 22:08

Observe

Solução:

Façamos a mudança de variável [tex3]u = y - x[/tex3] e [tex3]v = y + x[/tex3] . Temos:

[tex3]\begin{cases}
u=y-x \\
v=y+x
\end{cases}[/tex3]

⟺

[tex3]\begin{cases}
x= \frac{v}{2}-\frac{u}{2}\\
y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x }{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\
\end{array} \right|=\left| \begin{array}{rcr}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{array} \right|=-\frac{1}{2}[/tex3]

Assim,

[tex3]\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2}[/tex3] , isto é, o módulo do determinante jacobiano é igual a 1/2.

Daí;

[tex3]dxdy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv=\frac{1}{2}dudv[/tex3]

Perceba que a transformação [tex3](u,\,v ) = Ψ(x,\, y)[/tex3] dada por

[tex3]\begin{cases}
u=y-x \\
v=y+x
\end{cases}[/tex3]

é a inversa de [tex3](x,\,y) = φ(u,\,v)[/tex3] dada por

[tex3]\begin{cases}
x= \frac{v}{2}-\frac{u}{2}\\
y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}
\end{cases}[/tex3]

o que φ é de classe [tex3]C_{1}[/tex3] em IR².

A seguir, vamos determinar B [tex3]_{uv}[/tex3] de modo que B = φ( B [tex3]_{uv}[/tex3] ). Como Ψ é a inversa de φ, segue, então, que B [tex3]_{uv}[/tex3] é a imagem de B pelo Ψ.

[tex3]\Psi :\begin{cases}
u=y-x \\
v=y+x
\end{cases}[/tex3]

: arrumar.jpg (22.32 KiB) Exibido 1503 vezes

Note que Ψ transforma as retas [tex3]x + y = 1[/tex3] , [tex3]x + y = 2[/tex3] , [tex3]y = 0[/tex3] e [tex3]x = 0[/tex3] , respectivamente, nas retas [tex3]v = 1[/tex3] , [tex3]v = 2[/tex3] , [tex3]v = - u[/tex3] e [tex3]v = u[/tex3] . Note, ainda, que φ( B [tex3]^{\circ}_{uv}[/tex3] ) = B [tex3]^{\circ}[/tex3]

Segue que

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}\cos \left(\frac{y-x}{y+x}\right)dxdy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B_{uv}}^{}\cos \left(\frac{u}{v}\right).\frac{1}{2}dudv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{-v}^{v}\cos \left(\frac{u}{v}\right)\ dudv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}[v.\sen \left(\frac{u}{v}\right)]_{-v}^{v}\ dv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}[v.\sen \left(\frac{v}{v}\right)-v.\sen \left(\frac{-v}{v}\right)]\ dv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}2v.\sen (1
)\ dv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[v^2.\sen (1)]_{1}^{2}=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[4.\sen (1) - \sen (1) ]=\frac{3}{2}\sen \ (1)[/tex3]

Portanto, a integral dupla vale [tex3]\frac{
3\sen \ (1)}{2}[/tex3] .

Bons estudos!

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