Ensino SuperiorCalculo 2. Calcule a integral dupla utilizando mudanças

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paulafabiana
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Dez 2017 07 20:03

Calculo 2. Calcule a integral dupla utilizando mudanças

Mensagem não lida por paulafabiana » Qui 07 Dez, 2017 20:03

∫∫ cos(y-x/y+x) dA, onde R é a região do trapezoidal com vértices (1,0) (2,0) (0,2)(0,1). Considere u= y-x e v= y+x




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Cardoso1979
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Nov 2018 21 22:08

Re: Calculo 2. Calcule a integral dupla utilizando mudanças

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Qua 21 Nov, 2018 22:08

Observe

Solução:

Façamos a mudança de variável u = y - x e v = y + x. Temos:

[tex3]\begin{cases}
u=y-x \\
v=y+x
\end{cases}[/tex3]



[tex3]\begin{cases}
x= \frac{v}{2}-\frac{u}{2}\\
y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x }{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\
\end{array} \right|=\left| \begin{array}{rcr}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{array} \right|=-\frac{1}{2}[/tex3]

Assim,

[tex3]|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\frac{1}{2}[/tex3] , isto é, o módulo do determinante jacobiano é igual a 1/2.

Daí;

[tex3]dxdy=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv=\frac{1}{2}dudv[/tex3]

Perceba que a transformação ( u , v ) = Ψ( x , y ) dada por

[tex3]\begin{cases}
u=y-x \\
v=y+x
\end{cases}[/tex3]

é a inversa de ( x , y ) = φ( u , v ) dada por

[tex3]\begin{cases}
x= \frac{v}{2}-\frac{u}{2}\\
y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}
\end{cases}[/tex3]

o que φ é de classe [tex3]C_{1}[/tex3] em IR².

A seguir, vamos determinar B[tex3]_{uv}[/tex3] de modo que B = φ( B[tex3]_{uv}[/tex3] ). Como Ψ é a inversa de φ , segue , então , que B[tex3]_{uv}[/tex3] é a imagem de B pelo Ψ.


[tex3]\Psi :\begin{cases}
u=y-x \\
v=y+x
\end{cases}[/tex3]
15428437095182211864005848789125.jpg
15428437095182211864005848789125.jpg (46.42 KiB) Exibido 169 vezes


Note que Ψ transforma as retas x + y = 1 , x + y = 2 , y = 0 e x = 0 , respectivamente , nas retas v = 1 , v = 2 , v = - u e v = u. Note, ainda , que φ( B[tex3]^{\circ}[/tex3] [tex3]_{uv}[/tex3] ) = B[tex3]^{\circ}[/tex3]

Segue que

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}cos\left(\frac{y-x}{y+x}\right)dxdy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B_{uv}}^{}cos\left(\frac{u}{v}\right).\frac{1}{2}dudv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{-v}^{v}cos\left(\frac{u}{v}\right)\ dudv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}[v.sen\left(\frac{u}{v}\right)]_{-v}^{v}\ dv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}[v.sen\left(\frac{v}{v}\right)-v.sen\left(\frac{-v}{v}\right)]\ dv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}2v.sen(1
)\ dv=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[v^2.sen(1)]_{1}^{2}=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[4.sen(1) - sen(1) ]=\frac{3}{2}sen \ (1)[/tex3]


Portanto, a integral dupla vale [tex3]\frac{
3sen \ (1)}{2}[/tex3] .



Bons estudos!




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