Ensino Superior ⇒ Fatoração de Polinômio Característico

[renancec11]

Boa noite a todos!
Estou com alguns exercícios para achar autovalores e autoespaços das matrizes, mas estou tendo problemas quando chego na parte do polinômio característico.

Por exemplo, na matriz A (abaixo) o polinômio característico aparece sem o termo independente, e é por isso que não consigo fatorar. Preciso que alguém faça a resolução passo a passo do processo de fatoração do polinômio dessa matriz para que eu consiga fazer os outros exercícios. Agradeço se puderem ajudar!


A = 0 −2 −2
2 4 2
−2 −2 0

[lorramrj]

Repare:

1) A soma de todas colunas são iguais a zero. Então x1 = 0 é um autovalor, substituindo na matriz vemos que esse autovalor tem um autoespaço de dimensão 1. Portanto, se espera multiplicidade 1 para o autovalor x1 = 0.

2) Repare que "2" também é autovalor da matriz, substituindo o 2 na matriz todas as linhas da matriz se tornam LD's. Logo x2= 2. Substituindo na matriz encontramos um autoespaço de dimensão 2, então, se espera que 2 tenha multiplicidade 2 (x3=2). Por fim, concluímos com certeza que x3=2, porque:

"Traço da matriz A (soma da diagonal principal) = soma dos autovalores":

x1 + x2 + x3 = 4

0 + 2 + x3 = 4 =====> x3 = 2

OK ?