Ensino Superior ⇒ Indução Matemática

[pepeto]

Olá confrades, alguém poderia me ajudar com esta proposição?

Para todo número natural p, acontece 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2^{p - 1} + 2^p = 2^{p + 1} - 1.

O princípio de indução matemática é novo para mim, por isso estou tendo dificuldade em desenvolver a proposição acima. Desde já, agradeço!

[danjr5]

Olá pepeto, seja bem-vindo!

Façamos uma indução em [tex3]\underline{\mathsf{p}}[/tex3]

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[tex3]\underline{\mathsf{p}}[/tex3]

. Segue,

Passo base: a fórmula é verdadeira para [tex3]\mathsf{n = 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n = 0}[/tex3]

(elemento mínimo). Vejamos:

[tex3]\\ \mathsf{2^0 + 2^1 + ... + 2^{p - 1} + 2^p = 2^{p + 1} - 1} \\\\ \mathsf{2^0 = 2^{0 + 1} - 1} \\\\ \mathsf{1 = 2^1 - 1} \\\\ \mathsf{1 = 2 - 1 \qquad \qquad (V)}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{2^0 + 2^1 + ... + 2^{p - 1} + 2^p = 2^{p + 1} - 1} \\\\ \mathsf{2^0 = 2^{0 + 1} - 1} \\\\ \mathsf{1 = 2^1 - 1} \\\\ \mathsf{1 = 2 - 1 \qquad \qquad (V)}[/tex3]

Passo Indutivo: se a fórmula é verdadeira para [tex3]\mathsf{p = n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{p = n}[/tex3]

, então, também é verdadeira para [tex3]\mathsf{p = n + 1}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{p = n + 1}[/tex3]

.

- hipótese de indução:

[tex3]\mathsf{2^0 + 2^1 + ... + 2^{n - 1} + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1, \qquad \forall n \in \mathbb{N}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2^0 + 2^1 + ... + 2^{n - 1} + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1, \qquad \forall n \in \mathbb{N}}[/tex3]

- Devemos provar que:

[tex3]\mathsf{2^0 + 2^1 + ... + 2^{n - 1} + 2^{n} + 2^{n + 1} = 2^{n + 2} - 1}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2^0 + 2^1 + ... + 2^{n - 1} + 2^{n} + 2^{n + 1} = 2^{n + 2} - 1}[/tex3]

Isto posto,

[tex3]\mathsf{\underbrace{2^0 + 2^1 + ... + 2^{n - 1} + 2^{n}}_{hip\acute{o}tese} + 2^{n + 1} =}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\underbrace{2^0 + 2^1 + ... + 2^{n - 1} + 2^{n}}_{hip\acute{o}tese} + 2^{n + 1} =}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(2^{n + 1} - 1) + 2^{n + 1} =}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(2^{n + 1} - 1) + 2^{n + 1} =}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2^{n + 1} + 2^{n + 1} - 1 =}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2^{n + 1} + 2^{n + 1} - 1 =}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2^{n + 1}(1 + 1) - 1 =}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2^{n + 1}(1 + 1) - 1 =}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \cdot 2^{n + 1} - 1 =}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2 \cdot 2^{n + 1} - 1 =}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2^{1 + (n + 1)} - 1 =}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2^{1 + (n + 1)} - 1 =}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2^{n + 2} - 1}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2^{n + 2} - 1}[/tex3]

Como queríamos demonstrar.