Ensino Superior

gabrielb44

Considere a lemniscata de equação:

[tex3](x^2+y^2)^2 = x^2-y^2[/tex3]

Determine os dois pontos da lemniscata em que as tangentes são verticais.

Eu adaptei o problema, o original pedia também os pontos em que a reta tangente é horizontal, mas esses pontos eu consegui achar.
Já procurei na internet mas não achei nenhum lugar que explica como achar os pontos em que a reta tangente é vertical.
Se alguém poder pelo menos me explicar como descobrir os pontos em que a reta é vertical me ajudaria bastante.
Grato.

Gabriel Leite
Estudante de Ciência da Computação

Olà
Para achar o ponto de uma curva onde a reta é tangente,obtemos a derivada e igualamos a zero.Já no caso,da reta vertical,achamos a função derivada
e obtemos os pontos para os quais a derivada não existe.
Vou dá um exemplo simples:considere uma função f(x) cuja derivada é a função [tex3]f'(x)=\frac{x+3}{x-5}[/tex3]
O ponto onde a reta tangente é horizontal é dado por x+3=0 ou x=3(pois nesse ponto f'(x)=0)
O ponto onde a reta é vertical é dado por x-5=0 ou x=5(pois nesse ponto f'(x) não existe)
Deu pra entender?
Qualquer duvida,é só falar.

outra saída é derivar em relação a y ao invés de x e dizer que x'=0

no caso: 2(x²+y²)(2y) = - 2y então y=0 o que dá x^4 = x² então x=0 ou x = +/- 1 deu 3 pontos, meio estranho.

Acho que no ponto (0,0) a derivada não é clara porque a equação fica da forma 0 = 0 independente da derivada, o que conta são os extremos +/-1

gabrielb44

sousóeu escreveu: ↑
Dom 19 Nov, 2017 00:00
outra saída é derivar em relação a y ao invés de x e dizer que x'=0

no caso: 2(x²+y²)(2y) = - 2y então y=0 o que dá x^4 = x² então x=0 ou x = +/- 1 deu 3 pontos, meio estranho.

Não entendi como você chegou em 2(x²+y²)(2y) = - 2y
Você poderia me explicar melhor?

Sobre o ponto (0, 0): acho que não está clara porque existem duas retas tangentes possíveis nesse ponto, o gráfico dessa equação é como um sinal de infinito, com o centro do gráfico no ponto (0, 0).

Os pontos onde a tangente é vertical são exatamente esse que você concluiu: (-1, 0) e (1, 0)
A sua resolução está correta.

Eu só não entendi como descartaria o ponto (0, 0) das respostas se eu não tivesse visto o gráfico.

Caso ajude, segue a derivada [tex3]\left(\frac{dy}{dx}\right)[/tex3] :

y' = [tex3]\frac{x(1-2x^2-2y^2)}{y(1+2x^2+2y^2)}[/tex3]

Obrigado.

gabrielb44

jomatlove escreveu: ↑
Sáb 18 Nov, 2017 23:27
Olà
Para achar o ponto de uma curva onde a reta é tangente,obtemos a derivada e igualamos a zero.Já no caso,da reta vertical,achamos a função derivada
e obtemos os pontos para os quais a derivada não existe.
Vou dá um exemplo simples:considere uma função f(x) cuja derivada é a função [tex3]f'(x) = \frac{x+3}{x - 5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x) = \frac{x+3}{x - 5}[/tex3]

O ponto onde a reta tangente é horizontal é dado por x+3=0 ou x=3(pois nesse ponto f'(x)=0)
O ponto onde a reta é vertical é dado por x-5=0 ou x=5(pois nesse ponto f'(x) não existe)
Deu pra entender?
Qualquer duvida,é só falar.

Cara, eu entendi o raciocínio, me ajudou bastante, mas eu continuo com um problema:

A derivada da função em relação a x é:

[tex3]y' = \frac{x(1-2x^2-2y^2)}{y(1+2x^2+2y^2)}[/tex3]

[tex3]\therefore y'=\nexists [/tex3] se [tex3]y=0[/tex3] ou [tex3](1+2x^2+2y^2)=0[/tex3]

Existem 3 valores de [tex3]x[/tex3] em que [tex3]y=0[/tex3] :
[tex3]x=0, x=\pm 1[/tex3]

E não existem valores reais que satisfazem: [tex3](1+2x^2+2y^2)=0[/tex3]

Portanto, algebricamente, eu teria 3 pontos possíveis onde a derivada não existe.
Porém, graficamente, apenas nos pontos (-1,0) e (1,0) a reta tangente é vertical.

A minha dúvida é:
Como saber, sem ver o gráfico, que o ponto (0,0) não tem reta tangente vertical, já que a derivada não existe nesse ponto?

Agradeço sua ajuda.

vc pode parametrizar a lemniscata com coordenadas polares:
[tex3]x = r \cos(\theta)[/tex3] e [tex3]y = r\sen (\theta)[/tex3]
a equação dá [tex3]r^2 = \cos(2\theta)[/tex3] para [tex3]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac {\pi}2 ][/tex3] (fora disso o cos(2teta) fica negativo )
logo [tex3]x = \cos( \theta ) \sqrt{\cos(2\theta)}[/tex3] e [tex3]y = \sen(\theta) \sqrt{\cos(2\theta)}[/tex3]
dada a expressão da derivada que você apresentou um jeito de provar que a derivada não existe em 0 é substituir x e y pelas expressões que eu te mostrei a cima e fazer o limite de [tex3]\theta \rightarrow \frac {\pi}4[/tex3] e [tex3]\theta \rightarrow- \frac {\pi}4[/tex3] e ver que eles são diferentes e dão mais ou menos um.
Isto elimina essa ambiguidade justamente porque a expressão [tex3]r^2 = \cos(2\theta)[/tex3] é uma simplificação válida pra todo ponto diferente de (0,0) uma vez que dividimos a expressão original: [tex3]r^4 = r^2 \cos(2\theta)[/tex3] por [tex3]r^2[/tex3] assumindo assim que [tex3]r^2 \neq 0[/tex3] o que NÃO ocorre apenas no ponto (0,0) uma vez que o limite não liga pro valor da função no ponto essa forma permite encontrar as derivadas na origem isso não acontece de forma obvia na expressão em coordenadas x e y.

olha:
[tex3]y' = \frac{x(1-2x^2-2y^2)}{y(1+2x^2+2y^2)}[/tex3]
[tex3]y' = \frac{\cos( \theta ) \sqrt{\cos(2\theta)}(1-2(x^2+y^2))}{\sen( \theta ) \sqrt{\cos(2\theta)}(1+2(x^2+y^2))}[/tex3]
[tex3]y' = \frac{\cos(\theta)(1-2\cos(2\theta))}{\sen(\theta)(1 + 2\cos(2\theta))}[/tex3]
como nos limites que nos interessam : [tex3]\cos (2 \theta ) \rightarrow 0[/tex3] nesses casos [tex3]y' \rightarrow \frac{\cos(\theta)}{\sen(\theta)}[/tex3] quando [tex3]\theta \rightarrow \frac {\pi}4[/tex3] vai dar 1, quando [tex3]\theta \rightarrow -\frac{\pi}4[/tex3] vai dar -1.
Logo a derivada não existe em (0,0).

gabrielb44

Nossa cara. Eu já tava olhando em alguns livros de cálculo em inglês, mas não tinha conseguido resolver ainda.
Dessa forma aí não resta dúvidas.
Muito obrigado!

lupamat

(x²+y²)²=x²-y²

Nesse caso, temos uma equação dada na forma implícita. Vc terá q fazer derivação implícita para obter a reta tangente

Primeiramente, escreva a curva como F(x,y)=C, onde F(x,y) é uma expressão q está em função de x e y, e C uma constante:

(x²+y²)²-x²+y²=0

Em seguida, calcule as derivadas parciais da expressão F(x,y) em relação a cada variável. Chamaremos a derivada parcial em relação a x de Fx, e em relação a y de Fy. Derivada parcial é vc derivar em relação a uma variável, enquanto a outra fica constante.

Fx = 2(x²+y²)*2x-2x = 2x(2(x²+y²)-1)
Fy = 2(x²+y²)*2y+2y = 2y(2(x²+y²)+1)

Assim, a inclinação da reta tangente à curva num ponto genérico (x,y) é dada por:

dy/dx = -Fx/Fy

Nesse caso: dy/dx = -(x(2(x²+y²)-1))/(y(2(x²+y²)-1))

No caso, vc quer saber onde a reta tangente é vertical. Ela é vertical nos pontos onde Fx ≠ 0, e Fy = 0. Ou seja, ao vc tentar calcular a inclinação da reta (dy/dx), vc obterá uma fração a/0 com a ≠ 0. Já como achar esses pontos no caso da sua equação, infelizmente não sei

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