Ensino SuperiorRepresentação paramétrica Tópico resolvido

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princeandrews
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Representação paramétrica

Mensagem não lida por princeandrews »

Determine uma representação parametrica de cada uma das superficie abaixo e calcule sua area.

a) [tex3]S[/tex3] é a parte da esfera [tex3]x^2+y^2+z^2=4[/tex3] interior ao cone [tex3]z\geq \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3]

Alguem poderia me ajudar nessa ??




Movido de Pré-Vestibular para Ensino Superior em Qua 22 Nov, 2017 16:12 por ALDRIN

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Cardoso1979
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Re: Representação paramétrica

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Devemos encontrar o ponto de intersecção entre a esfera x² + y² + z² = 4 com o cone z = √( x² + y² ), temos:

x² + y² + [ √( x² + y² ) ]² = 4

x² + y² + x² + y² = 4

2x² + 2y² = 4

x² + y² = 2

Logo , o domínio é D = { ( x , y ) / x² + y² ≤ 2 } → projeção no plano xy da intersecção entre a esfera e o cone.

Então, substituindo x² + y² = 2 no cone z = √( x² + y² ) , resulta em ;

z = √2

Agora , vamos isolar o z da esfera e pegando a parte positiva, pois queremos a parte acima de z = √2 , logo,

z = √( 4 - x² - y² )

Deixando x e y serem os parâmetros, as equações paramétricas são:

x = x ; y = y e z = √( 4 - x² - y² ) onde x² + y² ≤ 2.

Obs.1 Usando coordenadas esféricas, uma parametrização é : [tex3]x=2sen(\phi).cos (\theta )[/tex3] , [tex3]y=2sen(\phi).sen (\theta ) [/tex3] , [tex3]z=2cos(\phi) [/tex3] onde [tex3]0 ≤ \phi ≤ \frac{π}{4} [/tex3] e [tex3]0 ≤ \theta ≤ 2π [/tex3]






Agora, vamos encontrar a área, temos que a fórmula para determinar a área de superfície é dada por:

[tex3]A(S)=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dA[/tex3]

Cálculo de [tex3]\frac{\partial z}{\partial x}[/tex3] :

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{(4-x^2-y^2)'}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

E

Cálculo de [tex3]\frac{\partial z}{\partial y}[/tex3] :

[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{(4-x^2-y^2)'}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

Em coordenadas retangulares:

- √2 ≤ x ≤ √2 e - √( 2 - x² ) ≤ y ≤ √( 2 - x² ) ( esses valores vem de x² + y² = 2 que é a projeção da intersecção da esfera com o cone no plano xy )

Então,

[tex3]A(S)=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int\limits_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\right)^2+\left(-\frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\right)^2}dydx[/tex3]

[tex3]A(S)=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int\limits_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2-y^2}+\frac{y^2}{4-x^2-y^2}} \ dydx[/tex3]

[tex3]A(S)=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int\limits_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{\frac{4}{4-x^2-y^2}} \ dydx[/tex3]

[tex3]A(S)=2.\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int\limits_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}\frac{1}{\sqrt{4-(x^2+y^2)}} \ dydx[/tex3]

Isso aí dá um trabalho tremendo!!!!!!

Passando para coordenadas polares, temos que

Como a projeção ( resultado da intersecção entre a esfera e o cone ) no plano xy é o disco x² + y² = 2 , ou seja , faz uma volta completa, logo a varia de teta é [tex3]0 ≤ \theta ≤ 2π[/tex3] , por outro lado, a variação de r é :

[tex3]r^2.cos^2(\theta)+r^2.sen^2(\theta )=2[/tex3]

r² = 2 → r = √2 ( representa a circunferência em coordenadas polares ).

Logo,

0 ≤ r ≤ √2

Obs.2 dydx = rdrd[tex3]\theta [/tex3]

Assim,

[tex3]A(S)=2.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\frac{r}{\sqrt{4-r^2}} \ drd\theta [/tex3]

[tex3]A(S)=2.\int\limits_{0}^{2π}[-\sqrt{4-r^2}]_{0}^{\sqrt{2}}\ d\theta [/tex3]

[tex3]A(S)=2.\int\limits_{0}^{2π}(-\sqrt{4-2}+\sqrt{4-0})\ d\theta [/tex3]

[tex3]A(S)=2.\int\limits_{0}^{2π}(2-\sqrt{2})\ d\theta [/tex3]

[tex3]A(S)=2.[2.\theta -\sqrt{2}.\theta ]_{0}^{2π} [/tex3]

[tex3]A(S)=2.(2.2π -\sqrt{2}.2π-0+0)[/tex3]

[tex3]A(S)=2.2π.(2 -\sqrt{2})[/tex3]

Portanto,

A( S ) = 4π.( 2 - √2 ) u.a.


Obs.3 O gráfico com a descrição da situação acima, ficará como exercício para você 👍



Bons estudos!




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