Ensino Superior ⇒ Integrais Multiplas e Coordenadas Polares 2 Tópico resolvido

[yuribam]

Um engenheiro precisa armazenar [tex3]300 m^3[/tex3]

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[tex3]300 m^3[/tex3]

de um composto. Para tanto projetou um reservatório em forma de parabolóide, o qual se encontra modelado pela função [tex3]Z = 16 - x^2 - y^2[/tex3]

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[tex3]Z = 16 - x^2 - y^2[/tex3]

, tendo sua base limitada pelo plano [tex3]xy[/tex3]

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[tex3]xy[/tex3]

, e as medidas dos eixos expressas em metros, tal como representado na figura a seguir:

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Considerando essas informações, é correto afirmar que:

a) O reservatório comporta todo o volume do composto a ser armazenado e ainda restam aproximadamente [tex3]101m^3[/tex3]

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[tex3]101m^3[/tex3]

de volume não ocupado pelo composto.
b) O reservatório não comporta todo o volume do composto a ser armazenado, uma vez que o volume do composto ultrapassa aproximadamente [tex3]84 m^3[/tex3]

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[tex3]84 m^3[/tex3]

da capacidade do reservatório.
c) O volume do reservatório tem aproximadamente o mesmo volume do composto a ser armazenado, ou seja, [tex3]300 m^3[/tex3]

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[tex3]300 m^3[/tex3]

.
d) O reservatório possui aproximadamente o dobro do volume do composto a ser armazenado.
e) Os dados fornecidos no enunciado são insuficientes para calcular o volume do reservatório.

[LucasPinafi]

[tex3]0 \leq z \leq 16-x^2 - y^2 \\ V = \iiint_B dxdydz = \iint_R \int_0^{16-x^2-y~2} dz dxdy = \iint_R (16-x^2 - y^2 ) dx dy \\ V =
\iint_{R^*} (16- r^2) r drd\theta = \int_0^{2\pi } d\theta \int_0^4 (16r - r^3) dr = 2\pi \left [8r^2 - \frac 1 4 r^4 \right]_0^4 = 2\pi (128-64)= 128 \pi > 300 m^2[/tex3]

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[tex3]0 \leq z \leq 16-x^2 - y^2 \\ V = \iiint_B dxdydz = \iint_R \int_0^{16-x^2-y~2} dz dxdy = \iint_R (16-x^2 - y^2 ) dx dy \\ V =
\iint_{R^*} (16- r^2) r drd\theta = \int_0^{2\pi } d\theta \int_0^4 (16r - r^3) dr = 2\pi \left [8r^2 - \frac 1 4 r^4 \right]_0^4 = 2\pi (128-64)= 128 \pi > 300 m^2[/tex3]

Veja que o volume do reservatório é mais do que o suficiente para guardar os 300 m².

[yuribam]

A resposta dessa questão é letra A