Ensino Superior ⇒ Integrais Múltiplas e Coordenadas Polares 1 Tópico resolvido

[yuribam]

Boa tarde,

Gente, tenho uma lista de CVV para resolver até sábado... A lista tem 26 questões e faltam 6 para eu resolver...

São de coordenadas polares, tentei resolver como integrais...

Fiz por parte e substituição e não consegui resolver...

Alguém pode me ajudar?

---

Em coordenadas polares, a altura média do gráfico de uma função f sobre uma região R de área A é dada por [tex3]\frac{1}{A}\int\int_R rf(r,\theta)drd\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{A}\int\int_R rf(r,\theta)drd\theta[/tex3]

.

Considere um hemisfério (metade de uma esfera) de centro na origem e raio 1. Podemos mostrar que ele pode ser representado pelo gráfico da função [tex3]f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}[/tex3]

acima do círculo de centro na origem e raio 1 no plano xy.

Podemos concluir que a altura média desse hemisfério é:

a) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

b) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

c) [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

d) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

e) [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]

[LucasPinafi]

A área A é [tex3]A = \pi (1)^2 = \pi [/tex3]

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[tex3]A = \pi (1)^2 = \pi [/tex3]

;
[tex3]h = \frac{1}{A} \iint _R r f(r,\theta) dr d\theta = \frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1- (r \cos \theta )^2 - (r \sen \theta)^2} dr d\theta =
\frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1-r^2} dr d\theta \\ h = \frac 1 \pi \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr = 2 \int_0^1 r\sqrt{1-r^2}
dr [/tex3]

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[tex3]h = \frac{1}{A} \iint _R r f(r,\theta) dr d\theta = \frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1- (r \cos \theta )^2 - (r \sen \theta)^2} dr d\theta =
\frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1-r^2} dr d\theta \\ h = \frac 1 \pi \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr = 2 \int_0^1 r\sqrt{1-r^2}
dr [/tex3]

Cálculo da integral:
[tex3]\int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr \Longrightarrow 1-r^2 = x \therefore \begin{cases} r dr =- dx/2 \\ r=0 \Longrightarrow x = 1 \\ r=1 \Longrightarrow x = 0 \end{cases} \\ \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = -\int_1^0 \sqrt x \frac {dx} 2 = \frac 1 2 \int_0^1 x^{1/2} dx = \frac 1 2
\left| \frac{x^{3/2}}{3/2} \right|_0^1 = \frac 1 3 \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac 1 3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr \Longrightarrow 1-r^2 = x \therefore \begin{cases} r dr =- dx/2 \\ r=0 \Longrightarrow x = 1 \\ r=1 \Longrightarrow x = 0 \end{cases} \\ \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = -\int_1^0 \sqrt x \frac {dx} 2 = \frac 1 2 \int_0^1 x^{1/2} dx = \frac 1 2
\left| \frac{x^{3/2}}{3/2} \right|_0^1 = \frac 1 3 \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac 1 3 [/tex3]

de modo que,
[tex3]h = 2 \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = \frac 2 3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h = 2 \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = \frac 2 3 [/tex3]

[yuribam]

Apos questionar o professor, o mesmo constatou q essa resposta esta correta