Boa tarde,
Gente, tenho uma lista de CVV para resolver até sábado... A lista tem 26 questões e faltam 6 para eu resolver...
São de coordenadas polares, tentei resolver como integrais...
Fiz por parte e substituição e não consegui resolver...
Alguém pode me ajudar?
Em coordenadas polares, a altura média do gráfico de uma função f sobre uma região R de área A é dada por [tex3]\frac{1}{A}\int\int_R rf(r,\theta)drd\theta[/tex3]
.
Considere um hemisfério (metade de uma esfera) de centro na origem e raio 1. Podemos mostrar que ele pode ser representado pelo gráfico da função [tex3]f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}[/tex3]
acima do círculo de centro na origem e raio 1 no plano xy.
Podemos concluir que a altura média desse hemisfério é:
a) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integrais Múltiplas e Coordenadas Polares 1 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
15
17:34
Integrais Múltiplas e Coordenadas Polares 1
Última edição: yuribam (Qua 15 Nov, 2017 20:09). Total de 3 vezes.
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Nov 2017
16
07:38
Re: Integrais Múltiplas e Coordenadas Polares 1
A área A é [tex3]A = \pi (1)^2 = \pi [/tex3]
[tex3]h = \frac{1}{A} \iint _R r f(r,\theta) dr d\theta = \frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1- (r \cos \theta )^2 - (r \sen \theta)^2} dr d\theta =
\frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1-r^2} dr d\theta \\ h = \frac 1 \pi \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr = 2 \int_0^1 r\sqrt{1-r^2}
dr [/tex3]
Cálculo da integral:
[tex3]\int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr \Longrightarrow 1-r^2 = x \therefore \begin{cases} r dr =- dx/2 \\ r=0 \Longrightarrow x = 1 \\ r=1 \Longrightarrow x = 0 \end{cases} \\ \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = -\int_1^0 \sqrt x \frac {dx} 2 = \frac 1 2 \int_0^1 x^{1/2} dx = \frac 1 2
\left| \frac{x^{3/2}}{3/2} \right|_0^1 = \frac 1 3 \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac 1 3 [/tex3]
de modo que,
[tex3]h = 2 \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = \frac 2 3 [/tex3]
; [tex3]h = \frac{1}{A} \iint _R r f(r,\theta) dr d\theta = \frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1- (r \cos \theta )^2 - (r \sen \theta)^2} dr d\theta =
\frac 1 \pi \iint_R r \sqrt{1-r^2} dr d\theta \\ h = \frac 1 \pi \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr = 2 \int_0^1 r\sqrt{1-r^2}
dr [/tex3]
Cálculo da integral:
[tex3]\int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr \Longrightarrow 1-r^2 = x \therefore \begin{cases} r dr =- dx/2 \\ r=0 \Longrightarrow x = 1 \\ r=1 \Longrightarrow x = 0 \end{cases} \\ \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = -\int_1^0 \sqrt x \frac {dx} 2 = \frac 1 2 \int_0^1 x^{1/2} dx = \frac 1 2
\left| \frac{x^{3/2}}{3/2} \right|_0^1 = \frac 1 3 \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac 1 3 [/tex3]
de modo que,
[tex3]h = 2 \int_0^1 r \sqrt{1-r^2} dr = \frac 2 3 [/tex3]
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
Nov 2017
16
19:09
Re: Integrais Múltiplas e Coordenadas Polares 1
Apos questionar o professor, o mesmo constatou q essa resposta esta correta
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