Olá, caros colegas. Estou dúvida em como provar o elemento simétrico desta questão. Alguém pode me auxiliar? Grato desde já.
Mostre que R x R - {0,0} munido da operação ∆ definida por (a, b) ∆ (c, d) = (ac −bd, ad +bc) é um grupo abeliano.
Ensino Superior ⇒ GRUPOS - Álgebra Abstrata Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
13
12:09
GRUPOS - Álgebra Abstrata
Última edição: Minoanjo (Seg 13 Nov, 2017 19:45). Total de 1 vez.
Nov 2017
13
19:53
Re: GRUPOS - Álgebra Abstrata
Olá, pessoal.
Bom, solicitei ajuda, mas acabou que eu mesmo resolvi com outro colega e colocarei a resposta para vocês. Como minha dúvida era em encontrar o elemento simétrico, deixo entendido que resolvi as demais condições de grupo. Segue a solução:
Sendo R x R - {0,0} munida da operação *, dada por (a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc) ser um grupo abeliano, para mostrar o elemento simétrico:
Considerando (e1,e2) elemento neutro. Então,
(a,b)*(e1,e2) = (ae1- be2, ae2+be1) = (a,b)
(e1,e2)*(a,b) = (e1a- e2b, e1b+e2a) = (a,b)
Para que ae1=e1a = a, temos que e1=1.
O mesmo se aplica para b. Como sabemos que e1=1, então pelo sistema acima, teremos e2=0.
Portanto, dado R x R - {0,0} munida da operação *, dada por (a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc), a simetria é dada pelo par (c,d)=(1,0).
Bom, solicitei ajuda, mas acabou que eu mesmo resolvi com outro colega e colocarei a resposta para vocês. Como minha dúvida era em encontrar o elemento simétrico, deixo entendido que resolvi as demais condições de grupo. Segue a solução:
Sendo R x R - {0,0} munida da operação *, dada por (a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc) ser um grupo abeliano, para mostrar o elemento simétrico:
Considerando (e1,e2) elemento neutro. Então,
(a,b)*(e1,e2) = (ae1- be2, ae2+be1) = (a,b)
(e1,e2)*(a,b) = (e1a- e2b, e1b+e2a) = (a,b)
Para que ae1=e1a = a, temos que e1=1.
O mesmo se aplica para b. Como sabemos que e1=1, então pelo sistema acima, teremos e2=0.
Portanto, dado R x R - {0,0} munida da operação *, dada por (a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc), a simetria é dada pelo par (c,d)=(1,0).
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