Ensino Superior

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Determinar todas as soluções da congruência linear (3X - 7Y)≡ 11 (mod 13)

Observe:

3x - 7y ≡ 11 ( mod 13 )

Temos que:

3x - 7y = 11 + 13k , k [tex3]\in [/tex3] Z.

Como MDC ( 3 , 7 ) = 1 e 1|( 11 + 13k ), a equação 3x - 7y = 11 + 13k tem solução. Daí;

7|__3__
1.....2

7 = 2.3 + 1 → 1 = 1.7 - 2.3 → 1 = 3.( - 2 ) + 7.1

Multiplicando tudo por 11 + 13k ( note que 11 + 13k ≠ 0, para todo k [tex3]\in [/tex3] Z ), resulta ;

3.( - 22 - 26k ) + 7.( 11 + 13k ) = 11 + 13k

3.( - 22 - 26k ) - 7.( - 11 - 13k ) = 11 + 13k

[tex3]Assim \ , temos \ que \ x_{o} = - 22 -
26k \ e \ y_{o} = - 11 - 13k[/tex3] é uma solução particular de 3x - 7y = 11 + 13k.

Como o mdc ( 3 , 7 ) = d = 1 e [tex3]x_{o} \
, \ y_{o} [/tex3] é uma solução particular da equação 3x - 7y = 11 + 13k, então todas as soluções dessa equação são dadas pelas fórmulas:

x = [tex3]x_{o} + bt[/tex3] , y = [tex3]y_{o} - at [/tex3] , onde t é inteiro arbitrário. a = 3 e b = - 7.

Então;

x = - 22 - 26k - 7t

e

y = - 11 - 13k - 3t , para todo t [tex3]\in [/tex3] Z

Portanto, todas as soluções da congruência linear dada, são dadas por ( x , y ) = ( - 22 - 26k - 7t , - 11 - 13k - 3t ) , k , t [tex3]\in [/tex3] Z.

Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!

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