Ensino Superior ⇒ Volume de sólido Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
06
19:01
Volume de sólido
Use integral dupla em coordenadas polares para determinar o volume do sólido que está abaixo do cone z = [tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3]
, acima do plano xy e dentro do cilindro [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]
=2y. Esboce a região de integração.-
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Fev 2018
02
15:15
Re: Volume de sólido
Observe:
Antes de iniciar a solução, vou fazer um breve comentário, sobre a interpretação desta questão. Esta questão pode ser interpretada também da seguinte maneira: volume do sólido limitado superiormente pelo cone z = [tex3]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] , inferiormente pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x² + y² = 2y, ou ainda, volume do sólido limitado acima pelo cone z = [tex3]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] , abaixo pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x² + y² = 2y. Agora , vamos a solução.
De z = [tex3]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] e x² + y² = 2y, temos z = [tex3]\sqrt{2y}[/tex3] , para y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 0, para y = 2 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 2. Isto significa que as duas superfícies se interceptam nos planos z = 2 e z = 0, por outro lado, a projeção de parte do cone( metade , em relação ao eixo z ) sobre o plano xy é um círculo, centrado em ( 0, 1 ) de raio 1.Considerando que o sólido K é limitado também pelo plano xy de equação z = 0, temos o esboço de K.
Agora vamos determinar a função [tex3]f(x,y)[/tex3] a ser integrada, vem;
[tex3]f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] ( função limitada superiormente ) - xy( função limitada inferiormente ), como xy = z = 0, fica;
[tex3]f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] - 0
[tex3]f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3]
Obs.1 Você poderia analisar da seguinte maneira [tex3]xy \leq z \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}}\rightarrow 0 \leq z \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} [/tex3]
Daí;
V = [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{K}^{}\sqrt{x^{2}
+ y^{2}} dydx[/tex3]
Vamos transformar para coordenadas polares, como a projeção sobre o plano xy dar-se no 1° e 2° quadrantes ( ver figura ), podemos concluir que [tex3]0 \leq \theta \leq \pi [/tex3]
De x² + y² = 2y, temos r² = 2rsen [tex3]\theta \rightarrow [/tex3] r = 2sen [tex3]\theta [/tex3] , então, [tex3]0 \leq r \leq 2sen\theta [/tex3]
Assim, a região transformada é:
[tex3]K_{r\theta }[/tex3] = {( r, [tex3]\theta );
0\leq r\leq 2sen\theta , 0\leq \theta \leq \pi [/tex3] }. Então;
[tex3]V = \int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{2sen\theta }\sqrt{r²}rdrd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{2sen\theta }r²drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{π}\frac{(2sen\theta )^{3}}{3}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{8}{3}\int\limits_{0}^{π}sen^{3}\theta d\theta [/tex3]
Obs.2 Para calcular a integral acima, procedemos da seguinte forma:
De sen [tex3]\theta [/tex3] sen [tex3]\theta [/tex3] = [tex3]\frac{1}{3}[ cos(\theta - \theta )
- cos ( \theta + \theta ) ]= \frac{1}{2} - \frac{cos2\theta }{2} [/tex3]
Segue
sen³ [tex3]\theta [/tex3] = [tex3]\frac{sen\theta }{2}- \frac{sen\theta.cos2\theta }{2} = \frac{sen \theta }{2} - \frac{sen3\theta +sen( -\theta ) }{4}[/tex3]
Como o sen [tex3]\theta [/tex3] é função ímpar, sen(-[tex3]\theta )[/tex3] = - sen [tex3]\theta [/tex3] e portanto,
sen³ [tex3]\theta [/tex3] = [tex3]\frac{3sen\theta }{4} - \frac{sen3\theta }{4}[/tex3]
Logo,
[tex3]\int\limits_{}^{}sen^{3}\theta d\theta =
\frac{- 3cos\theta }{4} + \frac{cos3\theta }{12}[/tex3]
Ou ainda , usar a fórmula de recorrência:
[tex3]\int\limits_{}^{}sen^{n}\theta d\theta =
\frac{-1}{n}.sen^{n-1}\theta .cos\theta + \frac{n - 1}{n}.\int\limits_{}^{}sen^{n-2}\theta d\theta [/tex3]
Temos que;
[tex3]V = \left(\frac{8}{3}\right).\left(\frac{1}{12}\right).[ cos(3\theta) - 9.cos(\theta ) [/tex3]
Substituindo os valores [tex3]\pi [/tex3] e 0, resulta;
[tex3]V = \frac{2}{9}.( - 1 + 9 - 1 + 9 )[/tex3]
[tex3]V = \frac{32}{9}[/tex3]
Portanto, o volume do sólido vale [tex3]\frac{32}{9}u.v.[/tex3]
Nota
dydx = [tex3]rdrd\theta [/tex3]
x² + y² = r²
x = r.cos [tex3]\theta [/tex3]
y = r.sen [tex3]\theta [/tex3]
Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!
Antes de iniciar a solução, vou fazer um breve comentário, sobre a interpretação desta questão. Esta questão pode ser interpretada também da seguinte maneira: volume do sólido limitado superiormente pelo cone z = [tex3]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] , inferiormente pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x² + y² = 2y, ou ainda, volume do sólido limitado acima pelo cone z = [tex3]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] , abaixo pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x² + y² = 2y. Agora , vamos a solução.
De z = [tex3]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] e x² + y² = 2y, temos z = [tex3]\sqrt{2y}[/tex3] , para y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 0, para y = 2 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 2. Isto significa que as duas superfícies se interceptam nos planos z = 2 e z = 0, por outro lado, a projeção de parte do cone( metade , em relação ao eixo z ) sobre o plano xy é um círculo, centrado em ( 0, 1 ) de raio 1.Considerando que o sólido K é limitado também pelo plano xy de equação z = 0, temos o esboço de K.
Agora vamos determinar a função [tex3]f(x,y)[/tex3] a ser integrada, vem;
[tex3]f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] ( função limitada superiormente ) - xy( função limitada inferiormente ), como xy = z = 0, fica;
[tex3]f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3] - 0
[tex3]f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex3]
Obs.1 Você poderia analisar da seguinte maneira [tex3]xy \leq z \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}}\rightarrow 0 \leq z \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} [/tex3]
Daí;
V = [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{K}^{}\sqrt{x^{2}
+ y^{2}} dydx[/tex3]
Vamos transformar para coordenadas polares, como a projeção sobre o plano xy dar-se no 1° e 2° quadrantes ( ver figura ), podemos concluir que [tex3]0 \leq \theta \leq \pi [/tex3]
De x² + y² = 2y, temos r² = 2rsen [tex3]\theta \rightarrow [/tex3] r = 2sen [tex3]\theta [/tex3] , então, [tex3]0 \leq r \leq 2sen\theta [/tex3]
Assim, a região transformada é:
[tex3]K_{r\theta }[/tex3] = {( r, [tex3]\theta );
0\leq r\leq 2sen\theta , 0\leq \theta \leq \pi [/tex3] }. Então;
[tex3]V = \int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{2sen\theta }\sqrt{r²}rdrd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{2sen\theta }r²drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{π}\frac{(2sen\theta )^{3}}{3}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{8}{3}\int\limits_{0}^{π}sen^{3}\theta d\theta [/tex3]
Obs.2 Para calcular a integral acima, procedemos da seguinte forma:
De sen [tex3]\theta [/tex3] sen [tex3]\theta [/tex3] = [tex3]\frac{1}{3}[ cos(\theta - \theta )
- cos ( \theta + \theta ) ]= \frac{1}{2} - \frac{cos2\theta }{2} [/tex3]
Segue
sen³ [tex3]\theta [/tex3] = [tex3]\frac{sen\theta }{2}- \frac{sen\theta.cos2\theta }{2} = \frac{sen \theta }{2} - \frac{sen3\theta +sen( -\theta ) }{4}[/tex3]
Como o sen [tex3]\theta [/tex3] é função ímpar, sen(-[tex3]\theta )[/tex3] = - sen [tex3]\theta [/tex3] e portanto,
sen³ [tex3]\theta [/tex3] = [tex3]\frac{3sen\theta }{4} - \frac{sen3\theta }{4}[/tex3]
Logo,
[tex3]\int\limits_{}^{}sen^{3}\theta d\theta =
\frac{- 3cos\theta }{4} + \frac{cos3\theta }{12}[/tex3]
Ou ainda , usar a fórmula de recorrência:
[tex3]\int\limits_{}^{}sen^{n}\theta d\theta =
\frac{-1}{n}.sen^{n-1}\theta .cos\theta + \frac{n - 1}{n}.\int\limits_{}^{}sen^{n-2}\theta d\theta [/tex3]
Temos que;
[tex3]V = \left(\frac{8}{3}\right).\left(\frac{1}{12}\right).[ cos(3\theta) - 9.cos(\theta ) [/tex3]
Substituindo os valores [tex3]\pi [/tex3] e 0, resulta;
[tex3]V = \frac{2}{9}.( - 1 + 9 - 1 + 9 )[/tex3]
[tex3]V = \frac{32}{9}[/tex3]
Portanto, o volume do sólido vale [tex3]\frac{32}{9}u.v.[/tex3]
Nota
dydx = [tex3]rdrd\theta [/tex3]
x² + y² = r²
x = r.cos [tex3]\theta [/tex3]
y = r.sen [tex3]\theta [/tex3]
Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!
Última edição: Cardoso1979 (Sex 02 Fev, 2018 15:24). Total de 1 vez.
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