Ensino Superior ⇒ Uso de desigualdade Max-Min para determinar limites de integrais Tópico resolvido

[sabrinad]

Não estou compreendendo como devo desenvolver esse conceito, se alguém puder demonstrar no exemplo seguinte ficaria grata.
Livro Cálculo Vol. 1 George B.Thomas
5.3 - Questão 65.
Use a desigualdade máx-mín e determine os limites superior e inferior para o valor de [tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/tex3]

é decrescente em [ 0 , 1 ] ⇒ o valor máximo de f ocorre em 0
⇒ max f = f( 0 ) = 1 ; o valor mínimo de f ocorre em 1 ⇒ min f = f( 1 ) = [tex3]\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}[/tex3]

. Portanto, ( 1 - 0 ) min f ≤ [tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx[/tex3]

≤ ( 1 - 0 ) max f ⇒ [tex3]\frac{1}{2} ≤ \int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx ≤ 1,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} ≤ \int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx ≤ 1,[/tex3]

ou seja , um limite superior igual a 1 e um limite inferior igual a 1/2.




Bons estudos!