Ensino Superior ⇒ Função Trigonométrica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
02
09:11
Função Trigonométrica
Quais os zeros da função [tex3]f(x) = 2\cos(2x) - \sen x[/tex3]
?
Última edição: MateusQqMD (Qui 24 Set, 2020 11:19). Total de 1 vez.
Set 2020
24
02:36
Re: Função Trigonométrica
[tex3]f(x) = 2\cos(2x) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2\(\cos^2(x)-\sen^2(x)\) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2\(1-\sen^2(x)-\sen^2(x)\) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2\(1-2\sen^2(x)\) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2-4\sen^2(x) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]0= 2-4\sen^2(x) - \sen(x)[/tex3]
Fazendo [tex3]\Omega=\sen(x)[/tex3] :
[tex3]0= 2-4\Omega^2 -\Omega[/tex3]
Por Bhaskara:
[tex3]\Omega={-(-1)\pm\sqrt{(-1)-4\cdot(-4)\cdot2}\over2\cdot(-4)}[/tex3]
[tex3]\Omega={1\pm\sqrt{33}\over-8}[/tex3]
[tex3]\Omega={-1\pm\sqrt{33}\over8}[/tex3]
[tex3]\Omega_1={-1+\sqrt{33}\over8}[/tex3]
[tex3]\Omega_2={-1-\sqrt{33}\over8}[/tex3]
Assim:
[tex3]\Omega_1=\sen(x_1)[/tex3]
[tex3]x_1=\arcsen(\Omega_1)+2k\pi,~~~k\in\mathbb Z[/tex3]
[tex3]\Omega_2=\sen(x_2)[/tex3]
[tex3]x_2=\arcsen(\Omega_2)+2k\pi,~~~k\in\mathbb Z[/tex3]
Porém, perceba que:
[tex3]f(x) = 2\cos(2x) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(2[\pi-x]) - \sen(\pi-x)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(2\pi-2x) - \sen(\pi-x)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = f(x)[/tex3]
Como [tex3]f(x_1)=0[/tex3] , então [tex3]f(\pi-x_1)=0[/tex3] . Assim, temos mais uma raiz:
[tex3]x_3=\pi-x_1[/tex3]
[tex3]x_3=\pi-\arcsen(\Omega_1)-2k\pi[/tex3]
Analogamente, [tex3]f(x_2)=0[/tex3] , então [tex3]f(\pi-x_2)=0[/tex3] :
[tex3]x_4=\pi-x_2[/tex3]
[tex3]x_4=\pi-\arcsen(\Omega_2)-2k\pi[/tex3]
Assim, as raízes da equação são:
[tex3]x\in\left\{\arcsen\(\Omega_1\)+2k\pi,{\color{OliveGreen}\arcsen\(\Omega_2\)+2k\pi},\pi-\arcsen\(\Omega_1\)-2k\pi,{\color{OliveGreen}\pi-\arcsen\(\Omega_2\)-2k\pi}\right\}[/tex3]
Onde:
[tex3]\Omega_1={-1+\sqrt{33}\over8}[/tex3]
[tex3]\color{OliveGreen}\Omega_2={-1-\sqrt{33}\over8}[/tex3]
e [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]f(x) = 2\(\cos^2(x)-\sen^2(x)\) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2\(1-\sen^2(x)-\sen^2(x)\) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2\(1-2\sen^2(x)\) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(x) = 2-4\sen^2(x) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]0= 2-4\sen^2(x) - \sen(x)[/tex3]
Fazendo [tex3]\Omega=\sen(x)[/tex3] :
[tex3]0= 2-4\Omega^2 -\Omega[/tex3]
Por Bhaskara:
[tex3]\Omega={-(-1)\pm\sqrt{(-1)-4\cdot(-4)\cdot2}\over2\cdot(-4)}[/tex3]
[tex3]\Omega={1\pm\sqrt{33}\over-8}[/tex3]
[tex3]\Omega={-1\pm\sqrt{33}\over8}[/tex3]
[tex3]\Omega_1={-1+\sqrt{33}\over8}[/tex3]
[tex3]\Omega_2={-1-\sqrt{33}\over8}[/tex3]
Assim:
[tex3]\Omega_1=\sen(x_1)[/tex3]
[tex3]x_1=\arcsen(\Omega_1)+2k\pi,~~~k\in\mathbb Z[/tex3]
[tex3]\Omega_2=\sen(x_2)[/tex3]
[tex3]x_2=\arcsen(\Omega_2)+2k\pi,~~~k\in\mathbb Z[/tex3]
Porém, perceba que:
[tex3]f(x) = 2\cos(2x) - \sen(x)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(2[\pi-x]) - \sen(\pi-x)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(2\pi-2x) - \sen(\pi-x)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(-2x) - \sen(\pi-x)[/tex3][tex3]\cos(2\pi+\theta)=\cos(\theta)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(2x) - \sen(\pi-x)[/tex3][tex3]\cos(-\theta)=\cos(\theta)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = 2\cos(2x) - \sen(x)[/tex3][tex3]\sen(\pi-\theta)=\sen(\pi)\cos(\theta)-\sen(\theta)\cos(\pi)[/tex3]
[tex3]\sen(\pi-\theta)=0\cdot\cos(\theta)-\sen(\theta)\cdot(-1)[/tex3]
[tex3]\sen(\pi-\theta)=\sen(\theta)[/tex3]
[tex3]f(\pi-x) = f(x)[/tex3]
Como [tex3]f(x_1)=0[/tex3] , então [tex3]f(\pi-x_1)=0[/tex3] . Assim, temos mais uma raiz:
[tex3]x_3=\pi-x_1[/tex3]
[tex3]x_3=\pi-\arcsen(\Omega_1)-2k\pi[/tex3]
Analogamente, [tex3]f(x_2)=0[/tex3] , então [tex3]f(\pi-x_2)=0[/tex3] :
[tex3]x_4=\pi-x_2[/tex3]
[tex3]x_4=\pi-\arcsen(\Omega_2)-2k\pi[/tex3]
Assim, as raízes da equação são:
[tex3]x\in\left\{\arcsen\(\Omega_1\)+2k\pi,{\color{OliveGreen}\arcsen\(\Omega_2\)+2k\pi},\pi-\arcsen\(\Omega_1\)-2k\pi,{\color{OliveGreen}\pi-\arcsen\(\Omega_2\)-2k\pi}\right\}[/tex3]
Onde:
[tex3]\Omega_1={-1+\sqrt{33}\over8}[/tex3]
[tex3]\color{OliveGreen}\Omega_2={-1-\sqrt{33}\over8}[/tex3]
e [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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