Ensino Superior ⇒ (Enade 2005) Tópico resolvido

[Optmistic]

A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada — o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m ³ / s.Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.

Considere que o projeto prevê a retirada de x m ³ / s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que :
A = [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & -1 \\
1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & -1 \\
1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

, B = [tex3]\begin{pmatrix}
11 \\
4 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
11 \\
4 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

e X = [tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Com base nessas informações, assinale a opção correta.

a) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
b) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
c) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
d) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
e) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.

[petras]

Resolvendo A.x teremos:
[tex3]\begin{cases}
x+2y-2z \\
4y-z\\x-2z
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x+2y-2z \\
4y-z\\x-2z
\end{cases}[/tex3]

Determinante:
[tex3]D =\begin{vmatrix}
1 &2 &-2 \\
0& 4 & -1 \\
1& 0 & -2
\end{vmatrix}\rightarrow Resolvendo: D=-2
[/tex3]

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[tex3]D =\begin{vmatrix}
1 &2 &-2 \\
0& 4 & -1 \\
1& 0 & -2
\end{vmatrix}\rightarrow Resolvendo: D=-2
[/tex3]

A.x = B teremos:
[tex3]\begin{cases}
x+2y-2z=11 \\
4y-z=4\\x-2z=2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x+2y-2z=11 \\
4y-z=4\\x-2z=2
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo por escalonamento teremos:
[tex3]\begin{vmatrix}
1 &2 &-2 &11 \\
0& 4 & -1 &4 \\
1& 0 & -2 &2
\end{vmatrix}\rightarrow L1.(-1)+L3\rightarrow \begin{vmatrix}
1 &2 &-2 &11 \\
0& 4 & -1 &4 \\
0& -2 & 0 &-9
\end{vmatrix}\rightarrow L2.(\frac{1}{2})+L3\rightarrow \begin{vmatrix}
1 &2 &-2 &11 \\
0& 4 & -1 &4 \\
0& 0 & -\frac{1}{2} &-7
\end{vmatrix}\rightarrow L1.(-1)+L3\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}
1 &2 &-2 &11 \\
0& 4 & -1 &4 \\
1& 0 & -2 &2
\end{vmatrix}\rightarrow L1.(-1)+L3\rightarrow \begin{vmatrix}
1 &2 &-2 &11 \\
0& 4 & -1 &4 \\
0& -2 & 0 &-9
\end{vmatrix}\rightarrow L2.(\frac{1}{2})+L3\rightarrow \begin{vmatrix}
1 &2 &-2 &11 \\
0& 4 & -1 &4 \\
0& 0 & -\frac{1}{2} &-7
\end{vmatrix}\rightarrow L1.(-1)+L3\rightarrow[/tex3]

Portanto [tex3]\begin{cases}
x+2y-2z=11 \\
4y-z=4 \\
-\frac{z}{2}=-7
\end{cases}\rightarrow Resolvendo: \ x=30, y=9/2\ e\ z=14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x+2y-2z=11 \\
4y-z=4 \\
-\frac{z}{2}=-7
\end{cases}\rightarrow Resolvendo: \ x=30, y=9/2\ e\ z=14[/tex3]

a) V - 4,5 milhões
b) F = D = -2
c) F - Não possui uma coluna nula
d) F - 30/1850 ~1,6%
e) F - 14 milhoes

[Optmistic]

Muito bom !!! Obrigado !