Calcule, pela definição, o lim x→a
(x^2 − 2ax + a^2), a ∈ R
Ensino Superior ⇒ limites Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Cardoso1979 
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Fev 2020
15
22:35
Re: limites
Observe
Uma solução:
Para satisfazer a definição precisamos mostrar que para todo [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] , existe um [tex3]\delta > 0[/tex3] . Para começar vamos definir os valores de f( x ) , a e L. Dada a definição de limite : [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L[/tex3] .
Então,
f( x ) = x² - 2ax + a² , a = a e L = 0.
Sendo assim,
[tex3]0 < |x-a|< \delta ⇒ | f(x)| < \varepsilon [/tex3]
Para encontrar um [tex3]\delta > 0[/tex3] o primeiro passo é substituir f( x ) na desigualdade. Substituindo f( x ) , vem;
[tex3]|x^2-2ax+a^2| < \varepsilon [/tex3]
Fatorando...
[tex3]|(x-a).(x-a)| < \varepsilon [/tex3]
Pela definição de módulo, fica;
[tex3]|(x-a)||(x-a)| < \varepsilon [/tex3]
Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:
[tex3]|x-a| < \delta [/tex3]
Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo | ( x - a ) |. Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a [tex3]\delta [/tex3] , sendo assim podemos assumir que [tex3]\delta =1[/tex3] :
| x - a | < 1
Removendo o módulo :
- 1 < x - a < 1
A partir dessa desigualdade podemos chegar a ( x - a ) multiplicando seus termos por 1, resultando em ;
- 1 < x - a < 1 ⇒ | x - a | < 1 e | x - a | < δ
Substituindo:
| ( x - a ) || ( x - a ) | = δ < ε ⇒ δ < ε
Isso significa que devemos impor sobre δ duas restrições, δ ≤ 1 e δ ≤ ε. Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números em símbolos δ = mín ( 1 , ε ). Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = mín ( 1 , ε ) , para todo ε > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira :
Se 0 < | x - a | < δ ⇒ | f( x ) | < ε . Isso mostra que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}(x^2-2ax+a^2)=0[/tex3] , a ∈ R.
Bons estudos!
Uma solução:
Para satisfazer a definição precisamos mostrar que para todo [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] , existe um [tex3]\delta > 0[/tex3] . Para começar vamos definir os valores de f( x ) , a e L. Dada a definição de limite : [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L[/tex3] .
Então,
f( x ) = x² - 2ax + a² , a = a e L = 0.
Sendo assim,
[tex3]0 < |x-a|< \delta ⇒ | f(x)| < \varepsilon [/tex3]
Para encontrar um [tex3]\delta > 0[/tex3] o primeiro passo é substituir f( x ) na desigualdade. Substituindo f( x ) , vem;
[tex3]|x^2-2ax+a^2| < \varepsilon [/tex3]
Fatorando...
[tex3]|(x-a).(x-a)| < \varepsilon [/tex3]
Pela definição de módulo, fica;
[tex3]|(x-a)||(x-a)| < \varepsilon [/tex3]
Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:
[tex3]|x-a| < \delta [/tex3]
Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo | ( x - a ) |. Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a [tex3]\delta [/tex3] , sendo assim podemos assumir que [tex3]\delta =1[/tex3] :
| x - a | < 1
Removendo o módulo :
- 1 < x - a < 1
A partir dessa desigualdade podemos chegar a ( x - a ) multiplicando seus termos por 1, resultando em ;
- 1 < x - a < 1 ⇒ | x - a | < 1 e | x - a | < δ
Substituindo:
| ( x - a ) || ( x - a ) | = δ < ε ⇒ δ < ε
Isso significa que devemos impor sobre δ duas restrições, δ ≤ 1 e δ ≤ ε. Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números em símbolos δ = mín ( 1 , ε ). Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = mín ( 1 , ε ) , para todo ε > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira :
Se 0 < | x - a | < δ ⇒ | f( x ) | < ε . Isso mostra que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}(x^2-2ax+a^2)=0[/tex3] , a ∈ R.
Bons estudos!
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 1761 Exibições
-
Última msg por snooplammer
-
- 1 Respostas
- 1681 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 1723 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 1103 Exibições
-
Última msg por Masterplan
