Ensino SuperiorDetermine os extremos

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GausSword
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Determine os extremos

Mensagem não lida por GausSword » Qui 19 Out, 2017 21:09

Determine os extremos de f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x – 54:

Editado pela última vez por GausSword em Qui 19 Out, 2017 21:10, em um total de 1 vez.



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BabuEuler
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Out 2017 22 13:53

Re: Determine os extremos

Mensagem não lida por BabuEuler » Dom 22 Out, 2017 13:53

Basta você achar os pontos críticos e verificar o sinal da derivada da função antes e depois desses pontos. É essencial que você tenha em mente que antes do ponto de máximo local a derivada é positiva e depois passa a ser negativa(*). Já antes do ponto de mínimo local a derivada é negativa e depois passa a ser positiva(**).

Como [tex3]f(x)=2x^{3}-15x^2 +36x-54[/tex3] , então sua derivada será [tex3]f'(x)= 6x^{2}-30x+36[/tex3] , se você fizer Bhaskara verá que as raízes da função [tex3]f'(x)[/tex3] são 2 e 3.

Para verificar qual dessas raízes (2 e 3) é ponto de máximo e mínimo da função [tex3]f'(x)[/tex3] deve-se tomar um número antes e outro depois da primeira raiz e observar o sinal desse número, depois basta fazer o mesmo processo com a segunda raiz. Vamos analisar os números antes e depois da raiz 2, tomando por exemplo o número 1 (número menor que 2, ou seja, vem antes do 2 na reta real) e o número 2,5 (número maior que 2), fazendo [tex3]\ f'(1)[/tex3] e [tex3]\ f'(2,5)[/tex3] , temos:

[tex3] f'(1)=6(1)^2 - 30(1)+36 = 12 [/tex3] , obtemos um número positivo
[tex3]\ f'(2,5)= 6(2,5)^2-30(2,5)+36= -1,5[/tex3] , obtemos um número negativo.

Assim, concluímos por (*), que [tex3]\ f'(2)[/tex3] é ponto de máximo aplicado na derivada (CUIDADO, não é o ponto de máximo da função pedida e sim da sua derivada)

Agora analisemos os números antes e depois da raiz 3, tomando por exemplo 2,5 (número menor que 3, ou seja, vem antes do 3 na reta real) e o número 4 (número maior que 3), fazendo [tex3]\ f'(2,5)[/tex3] e [tex3]\ f'(4)[/tex3] , temos:

[tex3]\ f'(2,5) = -1,5[/tex3] , número negativo
[tex3]\ f'(4)= 96-120+36= 12[/tex3] , número positivo

Concluímos por (**), que [tex3]\ f'(3)[/tex3] é ponto de mínimo aplicado na derivada (CUIDADO, não é o ponto de mínimo da função pedida e sim da sua derivada).

Por fim, basta aplicar as raízes 2 e 3 na função original [tex3]f(x)=2x^{3}-15x^2 +36x-54[/tex3]
Logo,
[tex3]\ f(2)= -26[/tex3] , que será o ponto de máximo da função, pois 2 era ponto de máximo da derivada
[tex3]\ f(3)= -27[/tex3] , que será o ponto de mínimo da função, pois 3 era o ponto de mínimo da derivada.

Espero que tenha ajudado, procurei explicar da forma mais detalhada possível. Para entender melhor o assunto é necessário uma ideia geométrica, recomendo você assistir algumas aulas no youtube.

Editado pela última vez por BabuEuler em Dom 22 Out, 2017 13:56, em um total de 1 vez.



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