Ensino Superior ⇒ Demonstração de intervalos encaixantes

[TLO11]

Boa noite!

Estou com dificuldades para realizar a seguinte questão:

Sejam x e y dois reais quaisquer, com x<y. Então existe pelo menos um irracional "t" tal que x<t<y.

Estou com dificuldades em realizar a demonstração que a questão necessita.
Acredito que deve-se usar algo ligado a intervalos encaixantes.

Desde já agradeço o auxílio.

[Auto Excluído (ID:12031)]

tome um número N natural N > 1/(y-x) >0
então [tex3]\frac 1 N < y - x \implies x + \frac 1 N < y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac 1 N < y - x \implies x + \frac 1 N < y[/tex3]

então [tex3]x < x + \frac 1 N < y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x < x + \frac 1 N < y[/tex3]

então se x for irracional já temos os números da forma x + 1/N que são irracionais no intervalo.
se x for racional tome N natural tão grande que [tex3]N > \frac{\sqrt 2}{y - x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N > \frac{\sqrt 2}{y - x}[/tex3]

e o processo é análogo
[tex3]x < x + \frac{\sqrt{2}}{N} < y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x < x + \frac{\sqrt{2}}{N} < y[/tex3]