Oi pessoal! Joia? To agarrado nessa questão :/ Parece ser simples, mas não consigo resolver. Podem me ajudar?
Para que valores de a, m, e b a função
[tex3]f(x)=\begin{cases}
3 \rightarrow (x = 0) \\
-x^{2}+3x+a \rightarrow (0< x < 1)\\
mx+b \rightarrow (1\leq x\leq 2)
\end{cases}[/tex3]
satisfaz a hipótese do teorema do valor médio no intervalo [0,2]?
Muito obrigado!!!
Ensino Superior ⇒ Teorema do Valor Médio Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2020
13
23:26
Re: Teorema do Valor Médio
Primeiramente, para usarmos o T.V.M, a função deve ser contínua, logo:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)[/tex3]
Pela definição da função, [tex3]f(0)=a[/tex3] . O limite deve ser dividido em superior e inferior:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=a[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=3[/tex3]
Juntando tudo:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=f(0)[/tex3]
[tex3]a=3[/tex3]
[tex3]f(x)=\begin{cases}
3 \rightarrow (x = 0) \\
-x^{2}+3x+3 \rightarrow (0< x < 1)\\
mx+b \rightarrow (1\leq x\leq 2)
\end{cases}[/tex3]
Para garantir continuidade, também devemos ter:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)[/tex3]
[tex3]f(1)=m+b[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=m+b[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=5[/tex3]
Juntando tudo:
[tex3]5=m+b[/tex3]
Como a função é definida por partes, suas derivadas também serão:
[tex3]f'(x)=\begin{cases}
-2x+3 \rightarrow (0< x < 1)\\
m \rightarrow (1\lt x\lt 2)
\end{cases}[/tex3]
Lembrando que a derivada não precisa ser contínua.
Sabemos do T.V.M que, no intervalo [tex3][0,2][/tex3] :
[tex3]f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{2m+b-3}{2}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{m+m+b-3}{2}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{m+5-3}{2}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{m+2}{2}[/tex3]
Aqui devemos dividir em dois casos:
Assim, obtemos como solução:
[tex3]\begin{cases}
a=3,b=3,m=2 \\
\\
\text{ou}\\
\\
a=3,b=5-m~,~m\in(0,4)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)[/tex3]
Pela definição da função, [tex3]f(0)=a[/tex3] . O limite deve ser dividido em superior e inferior:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=a[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=3[/tex3]
Juntando tudo:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=f(0)[/tex3]
[tex3]a=3[/tex3]
[tex3]f(x)=\begin{cases}
3 \rightarrow (x = 0) \\
-x^{2}+3x+3 \rightarrow (0< x < 1)\\
mx+b \rightarrow (1\leq x\leq 2)
\end{cases}[/tex3]
Para garantir continuidade, também devemos ter:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)[/tex3]
[tex3]f(1)=m+b[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=m+b[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=5[/tex3]
Juntando tudo:
[tex3]5=m+b[/tex3]
Como a função é definida por partes, suas derivadas também serão:
[tex3]f'(x)=\begin{cases}
-2x+3 \rightarrow (0< x < 1)\\
m \rightarrow (1\lt x\lt 2)
\end{cases}[/tex3]
Lembrando que a derivada não precisa ser contínua.
Sabemos do T.V.M que, no intervalo [tex3][0,2][/tex3] :
[tex3]f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{2m+b-3}{2}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{m+m+b-3}{2}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{m+5-3}{2}[/tex3]
[tex3]f'(c)=\frac{m+2}{2}[/tex3]
Aqui devemos dividir em dois casos:
- Se [tex3]0< c<1[/tex3]
:
[tex3]f'(c)=\frac{m+2}{2}[/tex3]
[tex3]-2c+3=\frac{m+2}{2}[/tex3]
[tex3]0 < c < 1[/tex3]
[tex3]0> -2c > -2[/tex3]
[tex3]3> -2c +3> 1[/tex3]
[tex3]3> \frac{m+2}{2}> 1[/tex3]
[tex3]6> {m+2}> 2[/tex3]
[tex3]4> {m}> 0[/tex3]
[tex3]5=m+b[/tex3]
[tex3]5-b=m[/tex3]
[tex3]4> {m}> 0[/tex3]
[tex3]4>5-b> 0[/tex3]
[tex3]-1>-b> -5[/tex3]
[tex3]1< b < 5[/tex3]
- Se [tex3]1< c<2[/tex3]:
[tex3]f'(c)=\frac{m+2}{2}[/tex3]
[tex3]m=\frac{m+2}{2}[/tex3]
[tex3]m=\frac{m+2}{2}[/tex3]
[tex3]m=\frac{m}{2}+1[/tex3]
[tex3]m-\frac{m}{2}=1[/tex3]
[tex3]m=2[/tex3]
[tex3]5=m+b[/tex3]
[tex3]b=3[/tex3]
Assim, obtemos como solução:
[tex3]\begin{cases}
a=3,b=3,m=2 \\
\\
\text{ou}\\
\\
a=3,b=5-m~,~m\in(0,4)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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