Calcule a integral trocando a ordem de integração:
- [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{x^{3} + 1}dxdy[/tex3]
- [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{y^{2}}^{9}y.cos(x^{2})dxdy[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Grande abraço a todos,
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Ensino Superior ⇒ Integrais Duplas
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lorramrj
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Fev 2018
16
19:48
Re: Integrais Duplas
a) [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{x^{3} + 1}dxdy[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]\sqrt y \leq x\leq 1 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = x^2 [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 1 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq x^2 [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} x^2 \sqrt{x^3+1}dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^3+1} \rightarrow du = 3x^2 dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{3x^2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} \dfrac{du}{3x^2}.x^2.\sqrt{u} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{u(0)}^{u(1)}
u^{\dfrac{1}{2}}du = \dfrac{2}{9}.|u^{\dfrac{3}{2}} |^{u(1)}_{u(0)} = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1)[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed { \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1) \approx 0.406317} [/tex3]
..........................................................................................................................................................................
b) [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{y^{2}}^{9}y.cos(x^{2})dxdy[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]y^2 \leq x\leq 9 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 3[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = \sqrt x [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 9 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq \sqrt x [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \int\limits_{0}^{9} \dfrac{1}{2}|y^2|^{\sqrt{x}}_{0}.cos(x^2)dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{9} x.cos(x^2)dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^2} \rightarrow du = 2x \space dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{2x}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{u(0)}^{u(9)} x.cos(u) \dfrac{du}{2x}= \dfrac{1}{4}.|sen(u)|^{81}_{0}
= \dfrac {sen(81)}{4}[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed {\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac {sen(81)}{4} \approx -0.157472 }[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]\sqrt y \leq x\leq 1 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = x^2 [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 1 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq x^2 [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} x^2 \sqrt{x^3+1}dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^3+1} \rightarrow du = 3x^2 dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{3x^2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} \dfrac{du}{3x^2}.x^2.\sqrt{u} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{u(0)}^{u(1)}
u^{\dfrac{1}{2}}du = \dfrac{2}{9}.|u^{\dfrac{3}{2}} |^{u(1)}_{u(0)} = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1)[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed { \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1) \approx 0.406317} [/tex3]
..........................................................................................................................................................................
b) [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{y^{2}}^{9}y.cos(x^{2})dxdy[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]y^2 \leq x\leq 9 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 3[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = \sqrt x [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 9 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq \sqrt x [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \int\limits_{0}^{9} \dfrac{1}{2}|y^2|^{\sqrt{x}}_{0}.cos(x^2)dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{9} x.cos(x^2)dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^2} \rightarrow du = 2x \space dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{2x}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{u(0)}^{u(9)} x.cos(u) \dfrac{du}{2x}= \dfrac{1}{4}.|sen(u)|^{81}_{0}
= \dfrac {sen(81)}{4}[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed {\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac {sen(81)}{4} \approx -0.157472 }[/tex3]
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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