Calcule a integral trocando a ordem de integração:
- [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{x^{3} + 1}dxdy[/tex3]
- [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{y^{2}}^{9}y.cos(x^{2})dxdy[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integrais Duplas
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
16
19:48
Re: Integrais Duplas
a) [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{x^{3} + 1}dxdy[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]\sqrt y \leq x\leq 1 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = x^2 [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 1 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq x^2 [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} x^2 \sqrt{x^3+1}dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^3+1} \rightarrow du = 3x^2 dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{3x^2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} \dfrac{du}{3x^2}.x^2.\sqrt{u} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{u(0)}^{u(1)}
u^{\dfrac{1}{2}}du = \dfrac{2}{9}.|u^{\dfrac{3}{2}} |^{u(1)}_{u(0)} = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1)[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed { \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1) \approx 0.406317} [/tex3]
..........................................................................................................................................................................
b) [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{y^{2}}^{9}y.cos(x^{2})dxdy[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]y^2 \leq x\leq 9 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 3[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = \sqrt x [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 9 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq \sqrt x [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \int\limits_{0}^{9} \dfrac{1}{2}|y^2|^{\sqrt{x}}_{0}.cos(x^2)dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{9} x.cos(x^2)dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^2} \rightarrow du = 2x \space dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{2x}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{u(0)}^{u(9)} x.cos(u) \dfrac{du}{2x}= \dfrac{1}{4}.|sen(u)|^{81}_{0}
= \dfrac {sen(81)}{4}[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed {\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac {sen(81)}{4} \approx -0.157472 }[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]\sqrt y \leq x\leq 1 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = x^2 [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 1 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq x^2 [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} x^2 \sqrt{x^3+1}dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^3+1} \rightarrow du = 3x^2 dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{3x^2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \int\limits_{0}^{1} \dfrac{du}{3x^2}.x^2.\sqrt{u} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{u(0)}^{u(1)}
u^{\dfrac{1}{2}}du = \dfrac{2}{9}.|u^{\dfrac{3}{2}} |^{u(1)}_{u(0)} = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1)[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed { \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x^2}\sqrt{x^{3} + 1}dydx = \dfrac{2}{9}.(2\sqrt{2} - 1) \approx 0.406317} [/tex3]
..........................................................................................................................................................................
b) [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{y^{2}}^{9}y.cos(x^{2})dxdy[/tex3]
Vemos a variação em x: [tex3]y^2 \leq x\leq 9 [/tex3]
Vemos a variação em y: [tex3]0 \leq y \leq 3[/tex3]
Temos [tex3]y(x)\rightarrow y = \sqrt x [/tex3] , ficamos então com:
Variação em x: [tex3]0 \leq x\leq 9 [/tex3]
Variação em y: [tex3]0 \leq y\leq \sqrt x [/tex3]
Ficamos com a integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \int\limits_{0}^{9} \dfrac{1}{2}|y^2|^{\sqrt{x}}_{0}.cos(x^2)dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{9} x.cos(x^2)dx[/tex3]
Subs. [tex3]\boxed {u = x^2} \rightarrow du = 2x \space dx\rightarrow \boxed {dx = \dfrac{du}{2x}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{u(0)}^{u(9)} x.cos(u) \dfrac{du}{2x}= \dfrac{1}{4}.|sen(u)|^{81}_{0}
= \dfrac {sen(81)}{4}[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed {\int\limits_{0}^{9}\int\limits_{0}^{\sqrt x}y.cos(x^{2})dydx = \dfrac {sen(81)}{4} \approx -0.157472 }[/tex3]
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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