Ensino Superior ⇒ Reta tangente à curva Tópico resolvido

[gabi2014]

Fazendo passo a passo, determine os valores de [tex3]x = c[/tex3] para os quais a reta tangente à curva [tex3]f(x)[/tex3] no ponto [tex3](c,\,f(c))[/tex3] é horizontal.

[tex3]f(x)=x^{3}\cdot(x-5)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x^{3}\cdot(x-5)^{2}[/tex3]

Resposta

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RESPOSTA DO GABARITO: x = 5, x = 3 e x = 0

[LucasPinafi]

A reta será horizontal quando [tex3]f'(x_0 ) = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x_0 ) = 0 [/tex3]

.
[tex3]f(x) = x^3 ( x-5)^2 = x^3 (x^2 - 10x + 25)= x^5 -10x^4 + 25x^3 \\ f'(x) = 5x^4 -40x^3+75x^2 \\ f'(x_0) =5x_0^4-40x_0^3 +75x_0^2 = 0 \\ x_0^4-8x_0^3+15x_0^2 = 0 \therefore x_0^2 (x_0^2 - 8x_0 +15) = 0 \Longrightarrow \begin{cases} x_0 = 0 \\ x_0^2 - 8x_0 + 15 = 0 \end{cases} \\ x_0 ^2 - 8x_0 +15 = 0 \therefore x_0 = \frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{2} = \frac{8\pm 2 }{2} \Longrightarrow x_0 = \frac{8+2}{2} = 5 \text{ ou } x_0 = \frac{8-2}{2} = 3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = x^3 ( x-5)^2 = x^3 (x^2 - 10x + 25)= x^5 -10x^4 + 25x^3 \\ f'(x) = 5x^4 -40x^3+75x^2 \\ f'(x_0) =5x_0^4-40x_0^3 +75x_0^2 = 0 \\ x_0^4-8x_0^3+15x_0^2 = 0 \therefore x_0^2 (x_0^2 - 8x_0 +15) = 0 \Longrightarrow \begin{cases} x_0 = 0 \\ x_0^2 - 8x_0 + 15 = 0 \end{cases} \\ x_0 ^2 - 8x_0 +15 = 0 \therefore x_0 = \frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{2} = \frac{8\pm 2 }{2} \Longrightarrow x_0 = \frac{8+2}{2} = 5 \text{ ou } x_0 = \frac{8-2}{2} = 3 [/tex3]

[gabi2014]

Olá. Obrigada pela ajuda... consegui fazer de outra forma.

f(x) = x³(x - 5)²
= 3x² (x - 5)² + x³ (1) 2 (x - 5)
= 3x² (x² -15 + 25) + 2x³ (x - 5)
= x² (3 (x - 5)² + 2x (x-5))
= x² (x - 5).(3(x - 5) + 2x)
= x² (x - 5)(5x - 15) = 0
x = 0

x - 5 = 0
x = 5

5x - 15 = 0
x = -15/-5
x = 3