Ensino Superior ⇒ Reta tangente à curva Tópico resolvido

[gabi2014]

Fazendo passo a passo, determine os valores de [tex3]x = c[/tex3] para os quais a reta tangente à curva [tex3]f(x)[/tex3] no ponto [tex3](c,\,f(c))[/tex3] é horizontal.

[tex3]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}[/tex3]

Resposta

---

GABARITO: x = 0 e x = -2

[jomatlove]

Resolução:
[tex3]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}\rightarrow f'(x)=\frac{(x+1)'(x^{2}+x+1)-(x+1)(x^{2}+x+1)'}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}\rightarrow f'(x)=\frac{(x+1)'(x^{2}+x+1)-(x+1)(x^{2}+x+1)'}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

(regra do quociente)
[tex3]f(x)=\frac{x^{2}+x+1-(x+1)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x^{2}+x+1-(x+1)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{x^{2}+x+1-(2x^{2}+x+2x+1)}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=\frac{x^{2}+x+1-(2x^{2}+x+2x+1)}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{x^{2}+x+\cancel1-2x^{2}-3x-\cancel1}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=\frac{x^{2}+x+\cancel1-2x^{2}-3x-\cancel1}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{-x^{2}-2x}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=\frac{-x^{2}-2x}{(x^{2}+x+1)^2}[/tex3]

A reta é tangente à curva no pontp (c,f(c)) se f'(c)=0.Logo:
[tex3]f'(x)=0\rightarrow -x^{2}-2x=0\rightarrow -x(x+2)=0\rightarrow x=0\vee x=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=0\rightarrow -x^{2}-2x=0\rightarrow -x(x+2)=0\rightarrow x=0\vee x=-2[/tex3]

Obs:não é necessário levar em consideração o denominador

[gabi2014]

Porque devo desconsiderar o denominador?