Ensino Superior ⇒ Reta tangente à curva Tópico resolvido

[gabi2014]

Fazendo passo a passo, determine todos valores de x = c para os quais a reta tangente à curva f(x) no ponto (c,f(c)) é horizontal.

[tex3]f(x)=\frac{x}{(3x-2)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x}{(3x-2)^{2}}[/tex3]

Resposta

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GABARITO: x = -2/3

[jomatlove]

Resolução:
[tex3]f(x)=\frac{x}{(3x-2)^{2}}=\frac{x}{9x^{2}-12x+4}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{x}{(3x-2)^{2}}=\frac{x}{9x^{2}-12x+4}[/tex3]

usamos a regra do quociente:[tex3]f(x)=\frac{a}{b}\rightarrow f'(x)=\frac{a'.b-a.b'}{b^{2}}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{a}{b}\rightarrow f'(x)=\frac{a'.b-a.b'}{b^{2}}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{x'.(9x^{2}-12x+4)-x(9x^{2}-12x+4)'}{(9x^{2}-12x+4)^{2}}[/tex3]

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[tex3]f'(x)=\frac{x'.(9x^{2}-12x+4)-x(9x^{2}-12x+4)'}{(9x^{2}-12x+4)^{2}}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{1.(9x^{2}-12x+4)-x(18x-12)}{(9x^{2}-12x+4)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=\frac{1.(9x^{2}-12x+4)-x(18x-12)}{(9x^{2}-12x+4)^{2}}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{9x^{2}\cancel{-12x}+4-18x^{2}+\cancel{12x}}{(9x^{2}-12x+4)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=\frac{9x^{2}\cancel{-12x}+4-18x^{2}+\cancel{12x}}{(9x^{2}-12x+4)^{2}}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{4-9x^{2}}{(3x-2)^{4}}[/tex3]

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[tex3]f'(x)=\frac{4-9x^{2}}{(3x-2)^{4}}[/tex3]

Tangente horizontal:f'(x)=0
[tex3]\frac{4-9x^{2}}{(3x-2)^{4}}=0\rightarrow 4-9x^{2}=0\rightarrow 9x^{2}=4\rightarrow x^{2}=\frac{4}{9}\rightarrow x=-\frac{2}{3}\vee x=\frac{2}{3}(não serve)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4-9x^{2}}{(3x-2)^{4}}=0\rightarrow 4-9x^{2}=0\rightarrow 9x^{2}=4\rightarrow x^{2}=\frac{4}{9}\rightarrow x=-\frac{2}{3}\vee x=\frac{2}{3}(não serve)[/tex3]