Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
a)y=[tex3]\sqrt{x}[/tex3]
, y = 0, x = 1 em torno de x = -1.
Eu sei que na fórmula das cascas cilíndricas, o x que eu multiplico pelo f(x) atua como o raio do cilindro, mas como eu faço em casos como esse em que eu não estou girando em torno do eixo y?
Ensino Superior ⇒ Sólido de revolução Tópico resolvido
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Jan 2018
28
21:24
Re: Sólido de revolução
Observe:
Solução
Pelos dados do problema, facilmente extraímos os limites de integração, x = a = 0 e x = b = 1
V = [tex3]2π\int\limits_{a}^{b}( x - k ).[ f(x)
- g(x) ]dx [/tex3]
Onde, k = - 1, a = 0 , b = 1, f(x) = [tex3]\sqrt{x}[/tex3] e g(x) = 0.
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x + 1 ).( \sqrt{x} - 0 ) dx [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x\sqrt{(x)} + \sqrt{x}) dx [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( \sqrt{(x³)} + \sqrt{x}) dx [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x^{\frac{3}{2}} + \ x^{\frac{1}{2}}) dx [/tex3]
V = [tex3]2π[/tex3] .[tex3][\left(\frac{2\sqrt{1^{5}}}{5}\right) + \left(\frac{2\sqrt{1^{3}}}{3}\right)][/tex3]
V = [tex3]4π[/tex3] .[tex3]( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} )[/tex3]
V = [tex3]4π[/tex3] .[tex3]( \frac{3 + 5}{15} )[/tex3]
V = [tex3]4π[/tex3] .[tex3]( \frac{8}{15} )[/tex3]
V = [tex3]\frac{32π}{15}[/tex3]
Portanto, o volume procurado é V = [tex3]\frac{32π}{15}u.v[/tex3]
Esboço:
Bons estudos!!
Solução
Pelos dados do problema, facilmente extraímos os limites de integração, x = a = 0 e x = b = 1
V = [tex3]2π\int\limits_{a}^{b}( x - k ).[ f(x)
- g(x) ]dx [/tex3]
Onde, k = - 1, a = 0 , b = 1, f(x) = [tex3]\sqrt{x}[/tex3] e g(x) = 0.
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x + 1 ).( \sqrt{x} - 0 ) dx [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x\sqrt{(x)} + \sqrt{x}) dx [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( \sqrt{(x³)} + \sqrt{x}) dx [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x^{\frac{3}{2}} + \ x^{\frac{1}{2}}) dx [/tex3]
V = [tex3]2π[/tex3] .[tex3][\left(\frac{2\sqrt{1^{5}}}{5}\right) + \left(\frac{2\sqrt{1^{3}}}{3}\right)][/tex3]
V = [tex3]4π[/tex3] .[tex3]( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} )[/tex3]
V = [tex3]4π[/tex3] .[tex3]( \frac{3 + 5}{15} )[/tex3]
V = [tex3]4π[/tex3] .[tex3]( \frac{8}{15} )[/tex3]
V = [tex3]\frac{32π}{15}[/tex3]
Portanto, o volume procurado é V = [tex3]\frac{32π}{15}u.v[/tex3]
Esboço:
Bons estudos!!
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