Ensino SuperiorÁlgebra Linear (Dependencia Linear) Tópico resolvido

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ladyinred0
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Álgebra Linear (Dependencia Linear)

Mensagem não lida por ladyinred0 »

1. Suponha que {v1,...,vn} é um conjunto linearmente independente de um espaço vetorial. Mostrar que {a1v1,...,anvn} também é linearmente independente, desde que os ai sejam todos não nulos.

2. Considere o conjunto {a1v1,...,anvn} do exercício anterior. O que acontece se um dos ai for zero?




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deOliveira
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Jan 2020 11 13:16

Re: Álgebra Linear (Dependencia Linear)

Mensagem não lida por deOliveira »

[tex3]\{v_1,...,v_n\}[/tex3] é linearmente independente, então temos que [tex3]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+...+\lambda_nv_n=0 \iff\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/tex3]

Quero provar que o conjunto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com [tex3]a_i\ne0[/tex3] [tex3]\forall i=1,2,...,n[/tex3] é linearmente independente.
Sejam [tex3]\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\in\mathbb R[/tex3] tais que:
[tex3]\mu_1(a_1v_1)+\mu_2(a_2v_2)+...+\mu_n(a_nv_n)=0[/tex3] quero provar que [tex3]\mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0[/tex3]
[tex3](\mu_1a_1)v_1+(\mu_2a_2)v_2+...+(\mu_na_n)v_n=0[/tex3]
Como [tex3]\{v_1,...,v_n\}[/tex3] é linearmente independente temos que [tex3]\mu_1a_1=\mu_2a_2=...=\mu_na_n=0[/tex3]
[tex3]\mu_1a_1=0[/tex3] temos que [tex3]a_1\ne0\implies\mu_1=0[/tex3]
[tex3]\mu_2a_2=0[/tex3] temos que [tex3]a_2\ne0\implies\mu_2=0[/tex3]
[tex3].\\.\\.[/tex3]
[tex3]\mu_na_n=0[/tex3] temos que [tex3]a_n\ne0\implies\mu_n=0[/tex3]
Dessa forma temos que [tex3]\mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0[/tex3] e portanto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com [tex3]a_i\ne0[/tex3] [tex3]\forall i=1,2,...,n[/tex3] é linearmente independente.

Agora quero provar que o conjunto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com algum [tex3]a_i=0[/tex3] é linearmente dependente.
Sem perda de generalidade, suponhamos [tex3]a_1=0[/tex3]
[tex3]a_1=0\implies a_1v_1=0[/tex3]
Dessa forma, temos que [tex3]0v_i=a_1v_1[/tex3] , [tex3]\forall i=2,3,...,n[/tex3] e portanto [tex3]a_1v_1[/tex3] é combinação linear dos demais vetores do conjunto, logo o conjunto é linearmente dependente.

Espero ter ajudado :).

Última edição: deOliveira (Sáb 11 Jan, 2020 13:18). Total de 1 vez.


Matemática é melhor do que contato humano. '-'

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