Seja [tex3]r_1[/tex3]
a reta que passa pelos pontos [tex3]A = (1, 0, 0)[/tex3]
e [tex3]B = (0, 2, 0)[/tex3]
, e [tex3]r_2[/tex3]
a reta
[tex3]x-2=\frac{y - 3}{2}=\frac{z - 4}{3}[/tex3]
.
(a) Encontre as equações da reta perpendicular às retas [tex3]r_1[/tex3]
e [tex3]r_2[/tex3]
;
(b) Calcule a distância entre [tex3]r_1[/tex3]
e [tex3]r_2[/tex3]
.
Ensino Superior ⇒ Ângulos e distâncias Tópico resolvido
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caioleitemg 
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Set 2017
07
00:02
Ângulos e distâncias
Última edição: jrneliodias (Qui 07 Set, 2017 17:18). Total de 2 vezes.
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jrneliodias 
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Set 2017
07
18:20
Re: Ângulos e distâncias
Olá, Caio.
Obteremos os vetores diretores de [tex3]r_1[/tex3] [tex3]r_2[/tex3] . O de [tex3]r_1 [/tex3] será [tex3]\vec{v}=\vec{BA}=(1,-2,0)[/tex3] .
O de [tex3]r_2[/tex3] pode ser lida da equação [tex3]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y - y_0}{b}=\frac{z - z_0}{c}[/tex3] como o vetor [tex3]\vec{r}=(a, b, c)[/tex3] . Então, o vetor diretor de [tex3]r_2[/tex3] será [tex3]\vec{r} = (1,2,3)[/tex3]
Observando que [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{r}[/tex3] não são paralelos, então um vetor que seja perpendicular aos dois será seu produto vetorial, logo
[tex3]\vec{u}=\vec{v}\times \vec{r}=\begin{vmatrix}i &j & k \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=(-6,-3,4)[/tex3]
Dessa forma, para obter, pegamos um ponto genérico de [tex3]r_1[/tex3] e [tex3]r_2[/tex3] ,
[tex3]r_1: R=(1,0,0)+\vec{v}t=(1+t,-2t,0)[/tex3]
[tex3]r_2: P=(2,3,4)+\vec{r}k=(2+k,\,3+2k,\,4+3k)[/tex3]
Então, o vetor [tex3]\vec{a}=\vec{RP}= w\vec{u}[/tex3] , ou seja, [tex3](k-t+1,\,2k+2t+2,\,3k+4) = (-6w,-3w,4w)[/tex3]
Assim, temos o sistema,
[tex3]\begin{cases}
k-t+6w=-1 \\
2k+2t+3w=-2 \\
3k-4w=-4
\end{cases}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(k,\,t,\,w)=\left(-\frac{80}{61},-\frac{13}{61},\,\frac{1}{61}\right)[/tex3]
Com isso, a reta perpendicular as duas tem o vetor diretor [tex3]\vec{u}=(-6,-3,4)[/tex3] e passa pelo ponto [tex3]R=(1+t,-2t,0)=\left(\frac{48}{61},-\frac{26}{61},\,0\right)[/tex3]
Por isso,
[tex3]r_3=\left(\frac{48}{61},-\frac{26}{61},\,0\right)+ \lambda(-6,-3,4)[/tex3]
A distância entre as retas será o módulo do vetor [tex3]w \,\vec{u}[/tex3] , portanto
[tex3]d=|w \,\vec{u}|=\frac{\sqrt{6^2+3^2+4^2}}{61}=\frac{\sqrt{61}}{61}[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Obteremos os vetores diretores de [tex3]r_1[/tex3] [tex3]r_2[/tex3] . O de [tex3]r_1 [/tex3] será [tex3]\vec{v}=\vec{BA}=(1,-2,0)[/tex3] .
O de [tex3]r_2[/tex3] pode ser lida da equação [tex3]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y - y_0}{b}=\frac{z - z_0}{c}[/tex3] como o vetor [tex3]\vec{r}=(a, b, c)[/tex3] . Então, o vetor diretor de [tex3]r_2[/tex3] será [tex3]\vec{r} = (1,2,3)[/tex3]
Observando que [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{r}[/tex3] não são paralelos, então um vetor que seja perpendicular aos dois será seu produto vetorial, logo
[tex3]\vec{u}=\vec{v}\times \vec{r}=\begin{vmatrix}i &j & k \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=(-6,-3,4)[/tex3]
Dessa forma, para obter, pegamos um ponto genérico de [tex3]r_1[/tex3] e [tex3]r_2[/tex3] ,
[tex3]r_1: R=(1,0,0)+\vec{v}t=(1+t,-2t,0)[/tex3]
[tex3]r_2: P=(2,3,4)+\vec{r}k=(2+k,\,3+2k,\,4+3k)[/tex3]
Então, o vetor [tex3]\vec{a}=\vec{RP}= w\vec{u}[/tex3] , ou seja, [tex3](k-t+1,\,2k+2t+2,\,3k+4) = (-6w,-3w,4w)[/tex3]
Assim, temos o sistema,
[tex3]\begin{cases}
k-t+6w=-1 \\
2k+2t+3w=-2 \\
3k-4w=-4
\end{cases}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(k,\,t,\,w)=\left(-\frac{80}{61},-\frac{13}{61},\,\frac{1}{61}\right)[/tex3]
Com isso, a reta perpendicular as duas tem o vetor diretor [tex3]\vec{u}=(-6,-3,4)[/tex3] e passa pelo ponto [tex3]R=(1+t,-2t,0)=\left(\frac{48}{61},-\frac{26}{61},\,0\right)[/tex3]
Por isso,
[tex3]r_3=\left(\frac{48}{61},-\frac{26}{61},\,0\right)+ \lambda(-6,-3,4)[/tex3]
A distância entre as retas será o módulo do vetor [tex3]w \,\vec{u}[/tex3] , portanto
[tex3]d=|w \,\vec{u}|=\frac{\sqrt{6^2+3^2+4^2}}{61}=\frac{\sqrt{61}}{61}[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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caioleitemg
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