Ensino Superior ⇒ Solução de Limites por fatoração com raízes de polinômio de 2 grau Tópico resolvido

[Aprendiz2017]

Olá!
Eu estou estudando pelo livro de Cálculo 1 do Swokowski. Tem um exemplo que é o seguinte:
[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{2x^{2}-5x+2}{5x^{2}-7x-6}][/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{2x^{2}-5x+2}{5x^{2}-7x-6}][/tex3]

A princípio, encontrei as raízes do numerador (2 e 0,5) e denominador (2 e -0,6) e, depois, fatorei os polinômios usando as raízes. Ficando da seguinte forma:
[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{(x-2).(x-0,5)}{(x-2).(x+0,6)}][/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{(x-2).(x-0,5)}{(x-2).(x+0,6)}][/tex3]

Sabe-se que [tex3]x=2[/tex3]

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[tex3]x=2[/tex3]

não faz parte do domínio. Mas, como o exemplo trata de limites e, no caso, [tex3]x->2, ou seja, x\neq 2[/tex3]

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[tex3]x->2, ou seja, x\neq 2[/tex3]

, então podemos cancelar o termo comum [tex3](x-2)[/tex3]

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[tex3](x-2)[/tex3]

no numerador e denominador, resultando em:
[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{(x-0,5)}{(x+0,6)}]=\frac{2-0,5}{2+0,6}=\frac{1,5}{2,6}=0,5769[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{(x-0,5)}{(x+0,6)}]=\frac{2-0,5}{2+0,6}=\frac{1,5}{2,6}=0,5769[/tex3]

Entretanto, a resposta certa é: [tex3]0,2307[/tex3]

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[tex3]0,2307[/tex3]

Infelizmente, não estou conseguindo ver onde está errado. Vocês poderiam me ajudar?
Muito obrigado!

[jomatlove]

Olá!
Vc errou na fatoração.Vamos recordar a forma fatorada de um polinomio do 2° grau:
[tex3]p(x)=ax^{2} +bx+c=a(x-x_{1})
(x-x_{1})[/tex3]

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[tex3]p(x)=ax^{2} +bx+c=a(x-x_{1})
(x-x_{1})[/tex3]

Entao,é só acrescentar o fator 2 no numerado e o fator 5 no denominador

[paulo testoni]

Hola Aprendiz2017.

Quando vc tem uma indeterminação do tipo:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{0}{0}][/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{0}{0}][/tex3]

vc deve derivar o numerado e o denominador assim:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{2x^{2}-5x+2}{5x^{2}-7x-6}][/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{2x^{2}-5x+2}{5x^{2}-7x-6}][/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{4x-5}{10x-7}][/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}[\frac{4x-5}{10x-7}][/tex3]

Agora substitua o x por 2 que vc chegará no resultado desejado [tex3]0,2307[/tex3]

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[tex3]0,2307[/tex3]

[Aprendiz2017]

Olá, pessoal!

Poxa, só tenho a agradecer! Gosto muito dessa iniciativa de forum!

Jomatlove, você foi perfeito na sua avaliação e descobriu o meu erro! muito obrigado! Vacilei mesmo, mas acontece!

Paulo Testoni, muito obrigado também, mas eu não estava pensando em usar L'Hopital...eu queria entender a razão da solução da fatoração não ter dado certo.

Muito obrigado mais uma vez!

[jrneliodias]

Olá, Aprendiz.

Veja que por fatoração também dá certo uma vez que

[tex3]\lim_{x\to 2}\frac{2x^2-5x+2}{5x^2-7x-6}\,\,=\,\,\lim_{x\to 2}\frac{(2x-1)(x-2)}{(5x+3)(x-2)}\,\,=\,\,\lim_{x\to 2}\frac{2x-1}{5x+3}\,\,=\,\,\frac{3}{13}=0,2307[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\to 2}\frac{2x^2-5x+2}{5x^2-7x-6}\,\,=\,\,\lim_{x\to 2}\frac{(2x-1)(x-2)}{(5x+3)(x-2)}\,\,=\,\,\lim_{x\to 2}\frac{2x-1}{5x+3}\,\,=\,\,\frac{3}{13}=0,2307[/tex3]

Espero ter ajudado. abraço.