Ensino Superior

Por favor, preciso de ajuda em calculo 2

4) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças [tex3]\vec{F}(x,y)=\left(2xe^y-x^2y-\frac{y^{3}}{3}\right)\vec{i}+(x^2e^y+\sen(y))\vec{j}[/tex3] ao mover uma partícula ao longo da circunferência [tex3]x^2+y^2-2x=0[/tex3] , percorrida no sentido anti-horário. (Sugestão: use o Teorema de Green).

Observe

Solução:

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Note que o caminho é fechado , simples e com orientação positiva. Como as funções [tex3]P(x,y)=2xe^y-x^2y-\frac{y^3}{3} \ e \ Q(x,y)=x^2e^y+sen y[/tex3] têm derivadas contínuas na região circular acima, podemos então utilizar o teorema de Green. Temos:

[tex3]\oint_C (2xe^y-x^2y-\frac{y^3}{3})dx+(x^2e^y+seny)dy= \oint_CP dx+Qdy=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA=[/tex3]

Daí;

[tex3]\frac{\partial P}{\partial y}=2xe^y-x^2-y^2[/tex3] e [tex3]\frac{\partial Q}{\partial x}=2xe^y[/tex3]

Então;

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}(2xe^y-2xe^y+x^2+y^2)dA=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}(x^2+y^2)dA=[/tex3]

Passando para coordenadas polares,vem;

[tex3]\int\limits_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos\theta }r^2.rdrd\theta=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos\theta }r^3drd\theta=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}[\frac{r^4}{4}]_{0}^{2cos\theta }d\theta=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}\frac{16cos^4\theta }{4}d\theta = [/tex3]

[tex3]4.\int\limits_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}cos^4\theta \ d\theta = [/tex3]

[tex3]4.[\frac{3\theta }{8}+\frac{1}{4}sen(2\theta)+\frac{1}{32}sen(4\theta)]
_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}=[/tex3]

Substituindo , resulta que;

[tex3]4.\left(\frac{9π}{16}-\frac{3π}{16}\right)=\frac{8.3π}{16}=\frac{3π}{2}[/tex3]

Nota

Você pode usar os seguintes domínios:

D = { ( r , θ ) | - π/2 ≤ θ ≤ π/2 , 0 ≤ r ≤ 2cos θ }

Ou

D = { ( r , θ ) | π/2 ≤ θ ≤ 3π/2 , 0 ≤ r ≤ 2cos θ }

Tanto faz!

Ainda;

x² - 2x + y² = 0

Como x² + y² = r² e x = r.cos θ, vem;

r² = 2r.cos θ

r = 2cos θ

Bons estudos!

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