Sejam [tex3]r:-3x + y = -4[/tex3]
e [tex3]s:x + 3y = 4[/tex3]
duas retas concorrentes:
1) Determine as bissetrizes.
2) Sabendo que um losango centrado na origem tem dois lados não paralelos sobre [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
. Determine os vértices e a área desse losango.
Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica-Bissetriz Tópico resolvido
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ALANSILVA 
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Geometria Analítica-Bissetriz
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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caju
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Set 2017
08
23:39
Re: Geometria Analítica-Bissetriz
Olá ALANSILVA,
[tex3]\large\begin{cases}r:y =3x -4\\s:y=-\frac{x}{3}+\frac{4}{3}\end{cases}[/tex3]
Olhando para os coeficientes angulares das retas, conseguimos ver que um é o inverso e oposto do outro, ou seja, as retas são perpendiculares.
As bissetrizes passarão no ponto de encontro das duas retas. Vamos encontrar esse ponto igualando as duas equações acima:
[tex3]3x -4=-\frac{x}{3}+\frac{4}{3}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{x=1,6}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y=0,8}[/tex3]
Digamos que o ângulo de inclinação da reta vermelha seja [tex3]\alpha[/tex3] , e o ângulo de inclinação da reta verde seja [tex3]\theta[/tex3] . Assim, pelos coeficientes angulares acima, podemos escrever:
[tex3]\boxed{\tan\alpha=3}[/tex3] e [tex3]\boxed{\tan\theta=-\frac13}[/tex3]
Continuando, temos que a bissetriz [tex3]b_1[/tex3] terá ângulo de inclinação de [tex3]\frac{\theta+\alpha}{2}[/tex3] e a outra bissetriz, [tex3]b_2[/tex3] , será perpendicular a esta, ou seja, o ângulo de inclinação será [tex3]\frac{\theta+\alpha}{2}+90^\circ[/tex3] .
Mas, pra esse caso específico, que as retas são perpendiculares, sabemos que as bissetrizes terão ângulo de inclinação igual a [tex3]\alpha-45^\circ[/tex3] e [tex3]\alpha+45^\circ[/tex3]
Vamos, então, calcular o coeficiente angular [tex3]m[/tex3] das duas bissetrizes:
Bissetriz [tex3]b_1[/tex3]:
[tex3]\text{coef. angular}=m_{b_1}=\tan\(\alpha+45^\circ\)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,m_{b_1}=\frac{\tan\alpha+\tan 45^\circ}{1-\tan\alpha\tan 45^\circ}=\frac{3+1}{1-3\cdot 1}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{m_{b_1}=-2}[/tex3]
Bissetriz [tex3]b_2[/tex3]:
Será perpendicular à [tex3]b_1[/tex3] . Ou seja, seu coeficiente angular é o inverso e oposto do acima:
[tex3]m_{b_2}=-\frac{1}{-2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{m_{b_2}=\frac{1}{2}}[/tex3]
E as duas bissetrizes passam pelo ponto [tex3]x=1,6[/tex3] e [tex3]y=0,8[/tex3] .
Agora que sabemos um ponto da reta e seu coeficiente angular, podemos achar a equação das duas bissetrizes:
Bissetriz [tex3]b_1[/tex3]: [tex3]y-0,8=-2\cdot(x-1,6)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{y=-2x+4}}[/tex3]
Bissetriz [tex3]b_2[/tex3]: [tex3]y-0,8=\frac{1}{2}\cdot(x-1,6)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{y=\frac{x}{2}}}[/tex3]
Para o item b, veja o losango que se refere o enunciado:
Um losango possui os quatro lados iguais. Sendo [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
perpendiculares, temos que esse losango é um quadrado.
Metade da diagonal deste quadrado é a distância da intersecção [tex3](1,6;\,0,8)[/tex3] até a origem:
[tex3]\sqrt{1,6^2+0,8^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\text{metade da diagonal}=\sqrt{3,2}}[/tex3]
Assim, conseguimos calcular o lado do quadrado e a área pedida: [tex3]\frac{\ell\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3,2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\ell=\frac{2\sqrt{3,2}}{\sqrt{2}}}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{A=\ell^2=6,4}}[/tex3]
Agora, as coordenadas dos vértices, temos que achar os pontos sobre [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] que distam [tex3]\ell[/tex3] do ponto de intersecção e depois encontrar o ponto sobre a bissetriz [tex3]b_2[/tex3] que dista [tex3]\ell[/tex3] de [tex3]r[/tex3] ou [tex3]s[/tex3] .
Alguém poderia postar esse final aqui? hehehe, fiquei com preguiça depois deste textão
Grande abraço,
Prof. Caju
[tex3]\large\begin{cases}r:y =3x -4\\s:y=-\frac{x}{3}+\frac{4}{3}\end{cases}[/tex3]
- graficos.png (7.63 KiB) Exibido 1145 vezes
As bissetrizes passarão no ponto de encontro das duas retas. Vamos encontrar esse ponto igualando as duas equações acima:
[tex3]3x -4=-\frac{x}{3}+\frac{4}{3}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{x=1,6}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y=0,8}[/tex3]
Digamos que o ângulo de inclinação da reta vermelha seja [tex3]\alpha[/tex3] , e o ângulo de inclinação da reta verde seja [tex3]\theta[/tex3] . Assim, pelos coeficientes angulares acima, podemos escrever:
[tex3]\boxed{\tan\alpha=3}[/tex3] e [tex3]\boxed{\tan\theta=-\frac13}[/tex3]
Continuando, temos que a bissetriz [tex3]b_1[/tex3] terá ângulo de inclinação de [tex3]\frac{\theta+\alpha}{2}[/tex3] e a outra bissetriz, [tex3]b_2[/tex3] , será perpendicular a esta, ou seja, o ângulo de inclinação será [tex3]\frac{\theta+\alpha}{2}+90^\circ[/tex3] .
Mas, pra esse caso específico, que as retas são perpendiculares, sabemos que as bissetrizes terão ângulo de inclinação igual a [tex3]\alpha-45^\circ[/tex3] e [tex3]\alpha+45^\circ[/tex3]
Vamos, então, calcular o coeficiente angular [tex3]m[/tex3] das duas bissetrizes:
Bissetriz [tex3]b_1[/tex3]:
[tex3]\text{coef. angular}=m_{b_1}=\tan\(\alpha+45^\circ\)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,m_{b_1}=\frac{\tan\alpha+\tan 45^\circ}{1-\tan\alpha\tan 45^\circ}=\frac{3+1}{1-3\cdot 1}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{m_{b_1}=-2}[/tex3]
Bissetriz [tex3]b_2[/tex3]:
Será perpendicular à [tex3]b_1[/tex3] . Ou seja, seu coeficiente angular é o inverso e oposto do acima:
[tex3]m_{b_2}=-\frac{1}{-2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{m_{b_2}=\frac{1}{2}}[/tex3]
E as duas bissetrizes passam pelo ponto [tex3]x=1,6[/tex3] e [tex3]y=0,8[/tex3] .
Agora que sabemos um ponto da reta e seu coeficiente angular, podemos achar a equação das duas bissetrizes:
Bissetriz [tex3]b_1[/tex3]: [tex3]y-0,8=-2\cdot(x-1,6)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{y=-2x+4}}[/tex3]
Bissetriz [tex3]b_2[/tex3]: [tex3]y-0,8=\frac{1}{2}\cdot(x-1,6)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{y=\frac{x}{2}}}[/tex3]
Para o item b, veja o losango que se refere o enunciado:
- graficos2.png (23.87 KiB) Exibido 1145 vezes
Metade da diagonal deste quadrado é a distância da intersecção [tex3](1,6;\,0,8)[/tex3] até a origem:
[tex3]\sqrt{1,6^2+0,8^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\text{metade da diagonal}=\sqrt{3,2}}[/tex3]
Assim, conseguimos calcular o lado do quadrado e a área pedida: [tex3]\frac{\ell\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3,2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\ell=\frac{2\sqrt{3,2}}{\sqrt{2}}}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{A=\ell^2=6,4}}[/tex3]
Agora, as coordenadas dos vértices, temos que achar os pontos sobre [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] que distam [tex3]\ell[/tex3] do ponto de intersecção e depois encontrar o ponto sobre a bissetriz [tex3]b_2[/tex3] que dista [tex3]\ell[/tex3] de [tex3]r[/tex3] ou [tex3]s[/tex3] .
Alguém poderia postar esse final aqui? hehehe, fiquei com preguiça depois deste textão
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Set 2017
09
01:45
Re: Geometria Analítica-Bissetriz
outro método de fazer, apesar de o acima funcionar, é lembrar que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas dadas.
Logo:
[tex3]\frac{|-3x+y+4|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}} = \frac{|x+3y-4|}{\sqrt{3^2+1^2}}[/tex3]
cortando o denominador em comum e elevando tudo ao quadrado
[tex3](-3x+y+4)^2-(x+3y-4)^2=0[/tex3]
[tex3](-3x+y+4+x+3y-4)(-3x+y+4-x-3y+4)=0[/tex3]
ou seja as bissetrizes são
[tex3]x=2y[/tex3] e [tex3]-2x-y+4=0[/tex3]
é um pouco mais rápido fazer assim, às vezes.
como mostrado na resposta do caju, um dos vértices é [tex3]A = (1,6;0,8)[/tex3] o outro vértice será [tex3]B=(-1,6;-0,8)[/tex3] pois o centro do losango é a origem e [tex3]A+B = 2O =0[/tex3]
já que as diagonais de um losango são perpendiculares e passam pelo centro do mesmo, então a reta da outra diagonal é: [tex3]y=-2x[/tex3]
fazendo o encontro desta diagonal com a reta s: [tex3]x + 3(-2x) =4 \rightarrow x=-0,8\rightarrow y = 1,6[/tex3]
logo os outros dois vértices são: [tex3](-0,8;1,6)[/tex3] e [tex3](0,8;-1,6)[/tex3]
A area do losango é o produto das suas diagonais.
[tex3]d_1 = \sqrt{1,6^2 + 3,2^2} = 1,6\sqrt 5[/tex3]
[tex3]d_2 = d_1[/tex3]
logo a area do losango é [tex3]8 \cdot 1,6 =12,8[/tex3]
Logo:
[tex3]\frac{|-3x+y+4|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}} = \frac{|x+3y-4|}{\sqrt{3^2+1^2}}[/tex3]
cortando o denominador em comum e elevando tudo ao quadrado
[tex3](-3x+y+4)^2-(x+3y-4)^2=0[/tex3]
[tex3](-3x+y+4+x+3y-4)(-3x+y+4-x-3y+4)=0[/tex3]
ou seja as bissetrizes são
[tex3]x=2y[/tex3] e [tex3]-2x-y+4=0[/tex3]
é um pouco mais rápido fazer assim, às vezes.
como mostrado na resposta do caju, um dos vértices é [tex3]A = (1,6;0,8)[/tex3] o outro vértice será [tex3]B=(-1,6;-0,8)[/tex3] pois o centro do losango é a origem e [tex3]A+B = 2O =0[/tex3]
já que as diagonais de um losango são perpendiculares e passam pelo centro do mesmo, então a reta da outra diagonal é: [tex3]y=-2x[/tex3]
fazendo o encontro desta diagonal com a reta s: [tex3]x + 3(-2x) =4 \rightarrow x=-0,8\rightarrow y = 1,6[/tex3]
logo os outros dois vértices são: [tex3](-0,8;1,6)[/tex3] e [tex3](0,8;-1,6)[/tex3]
A area do losango é o produto das suas diagonais.
[tex3]d_1 = \sqrt{1,6^2 + 3,2^2} = 1,6\sqrt 5[/tex3]
[tex3]d_2 = d_1[/tex3]
logo a area do losango é [tex3]8 \cdot 1,6 =12,8[/tex3]
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