Um tanque em forma de cono com o vértice para baixo mede 12m de altura e tem no topo um diâmetro de 12m Bombeia-se à taxa de [tex3]2m^{3}/min.[/tex3]
Alternativas:
A: 0,5367m/min
B: 0,4367m/min
C: 0,6367m/min
Ache a taxa com quem o nivel da água sobe quando a água tem 2m de profundidade.Ensino Superior ⇒ Calculo Diferencial Tópico resolvido
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Ago 2017
28
23:06
Re: Calculo Diferencial
Resolução:
Do enunciado,tiramos:
[tex3]\frac{dV}{dt}=2[/tex3]
Queremos obter:[tex3]\frac{dh}{dt}=?[/tex3] quando [tex3]h=2[/tex3]
Como se trata de um cone:
[tex3]V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h[/tex3] (I)
Por semelhança de triangulos:
[tex3]\frac{r}{h}=\frac{6}{12}\rightarrow r=\frac{1}{2}h[/tex3]
Substituindo em (I):
[tex3]V=\frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}h^{2}.h[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi }{12}h^{3}\rightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{\pi }{4}h^{2}.\frac{dh}{dt}[/tex3]
Ou
[tex3]\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi h^{2}}.\frac{dV}{dt}[/tex3]
Mas:
[tex3]\begin{cases}
\frac{dV}{dt}=2 \\
h=2
\end{cases}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi .4}.2=\frac{2}{\pi }=0,6367[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{dh}{dt}=0,6367m/min[/tex3]
Do enunciado,tiramos:
[tex3]\frac{dV}{dt}=2[/tex3]
Queremos obter:[tex3]\frac{dh}{dt}=?[/tex3] quando [tex3]h=2[/tex3]
Como se trata de um cone:
[tex3]V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h[/tex3] (I)
Por semelhança de triangulos:
[tex3]\frac{r}{h}=\frac{6}{12}\rightarrow r=\frac{1}{2}h[/tex3]
Substituindo em (I):
[tex3]V=\frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}h^{2}.h[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi }{12}h^{3}\rightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{\pi }{4}h^{2}.\frac{dh}{dt}[/tex3]
Ou
[tex3]\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi h^{2}}.\frac{dV}{dt}[/tex3]
Mas:
[tex3]\begin{cases}
\frac{dV}{dt}=2 \\
h=2
\end{cases}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi .4}.2=\frac{2}{\pi }=0,6367[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{dh}{dt}=0,6367m/min[/tex3]
Última edição: jomatlove (Seg 28 Ago, 2017 23:57). Total de 1 vez.
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