Seja ABCD um paralelogramo tal que o ponto de interseção entre suas diagonais é [tex3]\left(\frac{19}{2},\,1\right)[/tex3]
, [tex3]\vec{AB}[/tex3]
é paralelo à reta r:[tex3]x-3y=-8[/tex3]
, [tex3]\vec{BC}[/tex3]
é ortogonal ao vetor [tex3]\left(8,\,-6\right)[/tex3]
e [tex3]\vec{AC}=\left(7,\,-2\right)[/tex3]
.
Encontre as coordenadas dos vértices do paralelogramo ABCD.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido
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Mai 2021
04
09:58
Geometria Analítica
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Cardoso1979
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Mai 2021
09
00:31
Re: Geometria Analítica
Observe
Uma solução:
Seja E o ponto [tex3]\left(\frac{19}{2} \ , \ 1\right)[/tex3] . Como E é o ponto de encontro das diagonais do paralelogramo ABCD , então E é o ponto médio de [tex3]\vec{AC}[/tex3] e de [tex3]\vec{BD}[/tex3] . Assim, [tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] e [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] .
Considere A = ( x , y ). Como [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) por hipótese, temos:
[tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = 2.[tex3]\left(\frac{19}{2} - x \ , \ 1 - y\right)[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = ( 19 - 2x , 2 - 2y ) ⇔ 19 - 2x = 7 e 2 - 2y = - 2 ⇔ x = 6 e y = 2. Logo , A = ( 6 , 2 ) .
Como A = ( 6 , 2 ) e [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) , claramente , podemos concluir que C = ( 13 , 0 )( verifique!! ).
Agora considere a reta r' paralela a r que passa pelo ponto A. Neste caso, r' é da forma x - 3y = c para algum c real. Para encontrar c, usaremos o fato da reta r' passar pelo ponto A já encontrado anteriormente. Assim, a equação de r' é dada por
x - 3y = 6 - 3.2 ⇔ x - 3y = 0.
Note que o vértice B do paralelogramo ABCD pertence
à reta r' . Sendo assim, B é da forma ( 3y , y ) ( verifique!! ) para algum y real , o que implica que [tex3]\vec{BC}[/tex3] = ( 13 - 3y , - y ). Por hipótese , [tex3]\vec{BC}[/tex3] é ortogonal ao vetor ( 8 , - 6 ) , logo
[tex3]< \vec{BC} \ , \ ( 8 , - 6 ) > = 0 [/tex3] ⇔ < ( 13 - 3y , - y ) , ( 8 , - 6 ) > = 0 ⇔ 104 - 24y + 6y = 0 ⇔ y = [tex3]\frac{52}{9}[/tex3] . Assim, B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3].
Está faltando encontrar o vértice D = ( a , b ). Para isso, lembramos que E é o ponto médio de [tex3]\vec{BD}[/tex3] e que isso implica que [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] . Assim,
[tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] ⇔ [tex3]\left( a - \frac{52}{3} \ , \ b - \frac{52}{9}\right) = 2.\left(\frac{19}{2} - \frac{52}{3} \ , \ 1 - \frac{52}{9}\right)[/tex3] ⇔ a = [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] e b = - [tex3]\frac{34}{9}[/tex3] . Logo, D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3].
Portanto, os vértices do paralelogramo ABCD são : A = ( 6 , 2 ) , B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3] , C = ( 13 , 0 ) e D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3] .
Obs. O ideal é que você desenhe o paralelogramo para melhor compreensão
.
Excelente estudo!
Uma solução:
Seja E o ponto [tex3]\left(\frac{19}{2} \ , \ 1\right)[/tex3] . Como E é o ponto de encontro das diagonais do paralelogramo ABCD , então E é o ponto médio de [tex3]\vec{AC}[/tex3] e de [tex3]\vec{BD}[/tex3] . Assim, [tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] e [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] .
Considere A = ( x , y ). Como [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) por hipótese, temos:
[tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = 2.[tex3]\left(\frac{19}{2} - x \ , \ 1 - y\right)[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = ( 19 - 2x , 2 - 2y ) ⇔ 19 - 2x = 7 e 2 - 2y = - 2 ⇔ x = 6 e y = 2. Logo , A = ( 6 , 2 ) .
Como A = ( 6 , 2 ) e [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) , claramente , podemos concluir que C = ( 13 , 0 )( verifique!! ).
Agora considere a reta r' paralela a r que passa pelo ponto A. Neste caso, r' é da forma x - 3y = c para algum c real. Para encontrar c, usaremos o fato da reta r' passar pelo ponto A já encontrado anteriormente. Assim, a equação de r' é dada por
x - 3y = 6 - 3.2 ⇔ x - 3y = 0.
Note que o vértice B do paralelogramo ABCD pertence
à reta r' . Sendo assim, B é da forma ( 3y , y ) ( verifique!! ) para algum y real , o que implica que [tex3]\vec{BC}[/tex3] = ( 13 - 3y , - y ). Por hipótese , [tex3]\vec{BC}[/tex3] é ortogonal ao vetor ( 8 , - 6 ) , logo
[tex3]< \vec{BC} \ , \ ( 8 , - 6 ) > = 0 [/tex3] ⇔ < ( 13 - 3y , - y ) , ( 8 , - 6 ) > = 0 ⇔ 104 - 24y + 6y = 0 ⇔ y = [tex3]\frac{52}{9}[/tex3] . Assim, B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3].
Está faltando encontrar o vértice D = ( a , b ). Para isso, lembramos que E é o ponto médio de [tex3]\vec{BD}[/tex3] e que isso implica que [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] . Assim,
[tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] ⇔ [tex3]\left( a - \frac{52}{3} \ , \ b - \frac{52}{9}\right) = 2.\left(\frac{19}{2} - \frac{52}{3} \ , \ 1 - \frac{52}{9}\right)[/tex3] ⇔ a = [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] e b = - [tex3]\frac{34}{9}[/tex3] . Logo, D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3].
Portanto, os vértices do paralelogramo ABCD são : A = ( 6 , 2 ) , B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3] , C = ( 13 , 0 ) e D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3] .
Obs. O ideal é que você desenhe o paralelogramo para melhor compreensão
.Excelente estudo!
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