Seja ABCD um paralelogramo tal que o ponto de interseção entre suas diagonais é [tex3]\left(\frac{19}{2},\,1\right)[/tex3]
Encontre as coordenadas dos vértices do paralelogramo ABCD.
, [tex3]\vec{AB}[/tex3]
é paralelo à reta r:[tex3]x-3y=-8[/tex3]
, [tex3]\vec{BC}[/tex3]
é ortogonal ao vetor [tex3]\left(8,\,-6\right)[/tex3]
e [tex3]\vec{AC}=\left(7,\,-2\right)[/tex3]
.Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido
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04
09:58
Geometria Analítica
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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09
00:31
Re: Geometria Analítica
Observe
Uma solução:
Seja E o ponto [tex3]\left(\frac{19}{2} \ , \ 1\right)[/tex3] . Como E é o ponto de encontro das diagonais do paralelogramo ABCD , então E é o ponto médio de [tex3]\vec{AC}[/tex3] e de [tex3]\vec{BD}[/tex3] . Assim, [tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] e [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] .
Considere A = ( x , y ). Como [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) por hipótese, temos:
[tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = 2.[tex3]\left(\frac{19}{2} - x \ , \ 1 - y\right)[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = ( 19 - 2x , 2 - 2y ) ⇔ 19 - 2x = 7 e 2 - 2y = - 2 ⇔ x = 6 e y = 2. Logo , A = ( 6 , 2 ) .
Como A = ( 6 , 2 ) e [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) , claramente , podemos concluir que C = ( 13 , 0 )( verifique!! ).
Agora considere a reta r' paralela a r que passa pelo ponto A. Neste caso, r' é da forma x - 3y = c para algum c real. Para encontrar c, usaremos o fato da reta r' passar pelo ponto A já encontrado anteriormente. Assim, a equação de r' é dada por
x - 3y = 6 - 3.2 ⇔ x - 3y = 0.
Note que o vértice B do paralelogramo ABCD pertence
à reta r' . Sendo assim, B é da forma ( 3y , y ) ( verifique!! ) para algum y real , o que implica que [tex3]\vec{BC}[/tex3] = ( 13 - 3y , - y ). Por hipótese , [tex3]\vec{BC}[/tex3] é ortogonal ao vetor ( 8 , - 6 ) , logo
[tex3]< \vec{BC} \ , \ ( 8 , - 6 ) > = 0 [/tex3] ⇔ < ( 13 - 3y , - y ) , ( 8 , - 6 ) > = 0 ⇔ 104 - 24y + 6y = 0 ⇔ y = [tex3]\frac{52}{9}[/tex3] . Assim, B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3].
Está faltando encontrar o vértice D = ( a , b ). Para isso, lembramos que E é o ponto médio de [tex3]\vec{BD}[/tex3] e que isso implica que [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] . Assim,
[tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] ⇔ [tex3]\left( a - \frac{52}{3} \ , \ b - \frac{52}{9}\right) = 2.\left(\frac{19}{2} - \frac{52}{3} \ , \ 1 - \frac{52}{9}\right)[/tex3] ⇔ a = [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] e b = - [tex3]\frac{34}{9}[/tex3] . Logo, D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3].
Portanto, os vértices do paralelogramo ABCD são : A = ( 6 , 2 ) , B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3] , C = ( 13 , 0 ) e D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3] .
Obs. O ideal é que você desenhe o paralelogramo para melhor compreensão .
Excelente estudo!
Uma solução:
Seja E o ponto [tex3]\left(\frac{19}{2} \ , \ 1\right)[/tex3] . Como E é o ponto de encontro das diagonais do paralelogramo ABCD , então E é o ponto médio de [tex3]\vec{AC}[/tex3] e de [tex3]\vec{BD}[/tex3] . Assim, [tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] e [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] .
Considere A = ( x , y ). Como [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) por hipótese, temos:
[tex3]\vec{AC} = 2\vec{AE}[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = 2.[tex3]\left(\frac{19}{2} - x \ , \ 1 - y\right)[/tex3] ⇔ ( 7 , - 2 ) = ( 19 - 2x , 2 - 2y ) ⇔ 19 - 2x = 7 e 2 - 2y = - 2 ⇔ x = 6 e y = 2. Logo , A = ( 6 , 2 ) .
Como A = ( 6 , 2 ) e [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( 7 , - 2 ) , claramente , podemos concluir que C = ( 13 , 0 )( verifique!! ).
Agora considere a reta r' paralela a r que passa pelo ponto A. Neste caso, r' é da forma x - 3y = c para algum c real. Para encontrar c, usaremos o fato da reta r' passar pelo ponto A já encontrado anteriormente. Assim, a equação de r' é dada por
x - 3y = 6 - 3.2 ⇔ x - 3y = 0.
Note que o vértice B do paralelogramo ABCD pertence
à reta r' . Sendo assim, B é da forma ( 3y , y ) ( verifique!! ) para algum y real , o que implica que [tex3]\vec{BC}[/tex3] = ( 13 - 3y , - y ). Por hipótese , [tex3]\vec{BC}[/tex3] é ortogonal ao vetor ( 8 , - 6 ) , logo
[tex3]< \vec{BC} \ , \ ( 8 , - 6 ) > = 0 [/tex3] ⇔ < ( 13 - 3y , - y ) , ( 8 , - 6 ) > = 0 ⇔ 104 - 24y + 6y = 0 ⇔ y = [tex3]\frac{52}{9}[/tex3] . Assim, B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3].
Está faltando encontrar o vértice D = ( a , b ). Para isso, lembramos que E é o ponto médio de [tex3]\vec{BD}[/tex3] e que isso implica que [tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] . Assim,
[tex3]\vec{BD} = 2\vec{BE}[/tex3] ⇔ [tex3]\left( a - \frac{52}{3} \ , \ b - \frac{52}{9}\right) = 2.\left(\frac{19}{2} - \frac{52}{3} \ , \ 1 - \frac{52}{9}\right)[/tex3] ⇔ a = [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] e b = - [tex3]\frac{34}{9}[/tex3] . Logo, D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3].
Portanto, os vértices do paralelogramo ABCD são : A = ( 6 , 2 ) , B = [tex3]\left(\frac{52}{3} \ , \ \frac{52}{9}\right)[/tex3] , C = ( 13 , 0 ) e D = [tex3]\left(\frac{5}{3} \ , \ -\frac{34}{9}\right)[/tex3] .
Obs. O ideal é que você desenhe o paralelogramo para melhor compreensão .
Excelente estudo!
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