Ensino Superior ⇒ Quadrado perfeito

[daianek]

Eae pessoal, tudo bem? Estou fazendo a disciplina introdução a teoria aritmética dos números e estou com alguns problemas nesse exercício:

Mostrar que todo quadrado perfeito pode ser representado como soma de quadrados racionais, não-inteiros, r e s.

Por favor me ajudem

[Andre13000]

Vou te dar algumas dicas primeiro. O importante é a criatividade.

[tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]

1. [tex3]a=b+\frac{cp}{q}[/tex3]

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[tex3]a=b+\frac{cp}{q}[/tex3]

. (A grande e velha substituição de Euler)

2. Explore esta parametrização: [tex3]a=k(p^2+q^2);~b=k(p^2-q^2);~c=2pqk[/tex3]

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[tex3]a=k(p^2+q^2);~b=k(p^2-q^2);~c=2pqk[/tex3]

3. Essa última parametrização é extraída desta forma [tex3]b+ic=(p+iq)^2[/tex3]

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[tex3]b+ic=(p+iq)^2[/tex3]

Edit: na verdade eu não tinha percebido que a equação se reduz à esta: [tex3]x^2+y^2=1[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=1[/tex3]

, que tem infinitas soluções. Depois eu posto uma resolução.

Edit 2: o que também implica esta redução: [tex3]1+x^2=y^2[/tex3]

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[tex3]1+x^2=y^2[/tex3]

, onde [tex3]z^2+z^2x^2=y^2z^2\to yz=a;~zx=w\to z^2+w^2=a^2[/tex3]

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[tex3]z^2+z^2x^2=y^2z^2\to yz=a;~zx=w\to z^2+w^2=a^2[/tex3]

. Achando uma substituição decente, fica muito fácil.

[Andre13000]

Resolução:

Resposta

---

Veja:

[tex3]x^2+y^2=1\\
y^2=1-x^2\\
y=1-xp\\
1-2xp+x^2p^2=1-x^2\\
-2p+xp^2=-x\\
x=\frac{2p}{1+p^2}\\
y=1-xp=1-\frac{2p^2}{1+p^2}\\
y=\frac{1-p^2}{1+p^2}\\
x^2+y^2=1\\
a^2x^2+y^2a^2=a^2\\
b^2+c^2=a^2\\
b=ax\\
c=ay[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=1\\
y^2=1-x^2\\
y=1-xp\\
1-2xp+x^2p^2=1-x^2\\
-2p+xp^2=-x\\
x=\frac{2p}{1+p^2}\\
y=1-xp=1-\frac{2p^2}{1+p^2}\\
y=\frac{1-p^2}{1+p^2}\\
x^2+y^2=1\\
a^2x^2+y^2a^2=a^2\\
b^2+c^2=a^2\\
b=ax\\
c=ay[/tex3]

Pronto.