Preciso resolver essa integral pelo método de fração parcial
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x+1}dx[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integral por Fração Parcial Tópico resolvido
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Ago 2017
10
14:21
Re: Integral por Fração Parcial
[tex3]\frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} =\frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)} [/tex3]
Em frações parciais
[tex3]\frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)}[/tex3]
Para B temos,
[tex3]B = (x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = 10[/tex3]
Para A temos,
[tex3]A = \frac{d}{dx}\frac{(x^{2} + 5x + 4)(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x-1)} = \frac{d}{dx}(x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = (2x + 5)|_{x = 1} = 7[/tex3]
Assim
[tex3]\int \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} dx = \int \frac{7}{x-1}dx + \int \frac{10}{(x-1)^{2}}dx = log(x-1) + C_{1} + \frac{1}{x-1} + C_{2} [/tex3]
em que [tex3]C_{1}[/tex3] e [tex3]C_{2}[/tex3] são constantes.
Em frações parciais
[tex3]\frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)}[/tex3]
Para B temos,
[tex3]B = (x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = 10[/tex3]
Para A temos,
[tex3]A = \frac{d}{dx}\frac{(x^{2} + 5x + 4)(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x-1)} = \frac{d}{dx}(x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = (2x + 5)|_{x = 1} = 7[/tex3]
Assim
[tex3]\int \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} dx = \int \frac{7}{x-1}dx + \int \frac{10}{(x-1)^{2}}dx = log(x-1) + C_{1} + \frac{1}{x-1} + C_{2} [/tex3]
em que [tex3]C_{1}[/tex3] e [tex3]C_{2}[/tex3] são constantes.
Sem sacrifício não há vitória.
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