Ensino Superior ⇒ Integral por Fração Parcial Tópico resolvido

[duduxo]

Preciso resolver essa integral pelo método de fração parcial
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x+1}dx[/tex3]

[rippertoru]

[tex3]\frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} =\frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} =\frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)} [/tex3]

Em frações parciais

[tex3]\frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2} + 5x + 4}{(x - 1)(x-1)}[/tex3]

Para B temos,

[tex3]B = (x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = 10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = (x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = 10[/tex3]

Para A temos,

[tex3]A = \frac{d}{dx}\frac{(x^{2} + 5x + 4)(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x-1)} = \frac{d}{dx}(x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = (2x + 5)|_{x = 1} = 7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{d}{dx}\frac{(x^{2} + 5x + 4)(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x-1)} = \frac{d}{dx}(x^{2} + 5x + 4)|_{x = 1} = (2x + 5)|_{x = 1} = 7[/tex3]

Assim

[tex3]\int \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} dx = \int \frac{7}{x-1}dx + \int \frac{10}{(x-1)^{2}}dx = log(x-1) + C_{1} + \frac{1}{x-1} + C_{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} - 2x + 1} dx = \int \frac{7}{x-1}dx + \int \frac{10}{(x-1)^{2}}dx = log(x-1) + C_{1} + \frac{1}{x-1} + C_{2} [/tex3]

em que [tex3]C_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{1}[/tex3]

e [tex3]C_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2}[/tex3]

são constantes.