Olá boa tarde, Gostaria que me ajudassem com esse problema.
Determinar a distancia da reta: { x=3
{ y=4
Ao plano x0z Resposta: 4
Ao eixo dos Z Resposta: 5
Como faço para tirar o Ponto e o vetor, da reta e da equação~?
Extrai o vetor e o ponto da reta mais não tenho certeza se está corrento,
O Vetor da reta seria: P(3,4,0)
E o Vetor da reta: Vr(0,0,1)
A Do plano não sei mesmo, nem a do eixo z.
Gostaria que me explicassem como faço para extrair os vetores e os pontos de cada coisa e aplicar. Obg a quem puder ajudar
Ensino Superior ⇒ Distancia entre reta e plano Tópico resolvido
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Mai 2020
21
22:49
Re: Distancia entre reta e plano
Observe
Uma solução:
Antes de resolver a questão , vou fazer duas observações:
• Se [tex3]\vec{n}.\vec{v} ≠ 0 [/tex3] , então d( r , π ) = 0
• Se r // π ou r [tex3]\subset [/tex3] π , ou seja , [tex3]\vec{n}.\vec{v} = 0 [/tex3] , então d( r , π ) é a distância de um ponto qualquer de r a π.
Onde, [tex3]\vec{n}[/tex3] é o vetor normal ao plano π e [tex3]\vec{v}[/tex3] é o vetor diretor da reta.
1) A reta [tex3]\begin{cases}
x=3 \\
y=4
\end{cases}[/tex3] pode ser representada também como
[tex3]r:\begin{cases}
x=3 \\
y=4 \\
z=z_{1}+c.t
\end{cases}[/tex3] , onde subentendendo-se z variável.
Obs. r // Oz e [tex3]\vec{v}=(0,0,c)//\vec{k}[/tex3]
Podemos então escolher dois pontos de r , P = ( 3 , 4 , 0 ) e Q = ( 3 , 4 , 1 ) , já que o z varia!
Um vetor diretor de r :
[tex3]\vec{v}=\vec{PQ}=Q-P=(3,4,1)-(3,4,0)=(0,0,1)[/tex3]
Plano xoz : y = 0 ou 0.x + 1.y + 0.z + 0 = 0 , um vetor normal a esse plano é [tex3]\vec{n}=(0,1,0)[/tex3]
Daí,
[tex3]\vec{n}.\vec{v} = 0 [/tex3] →
( 0 , 1 , 0 ).( 0 , 0 , 1 ) = 0.0 + 1.0 + 0.1 = 0.
Assim, basta calcular a distância de um ponto qualquer de r a π. Temos a seguinte fórmula:
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{|a.x_{0}+b.y_{0}+c.z_{0}+d|}{||\vec{n}||}[/tex3]
Onde , a = 0 , b = 1 , c = 0 , d = 0 ( coeficientes do plano y = 0 ) e P [tex3]P=(x_{0},y_{0},z_{0})=(3,4,0)[/tex3] .
Segue que
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{|0.3+1.4+0.0+0|}{||(0,1,0)||}[/tex3]
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{|4|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}[/tex3]
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{4}{\sqrt{1}}[/tex3]
Logo,
d( r , π ) = 4
Eu não costumo resolver duas questões num mesmo tópico, porém , vou abrir essa exceção, vou fazer mais direta e o resto será com você
[tex3]eixo \ dos \ z:\begin{cases}
x=0 \\
y=0 \\
z=1.t
\end{cases}[/tex3]
[tex3]P_{z}=(0,0,0)[/tex3]
[tex3]P_{r}=(3,4,0)[/tex3]
[tex3]\vec{P_{z}P_{r}}=(P_{r}-P_{z})=(3,4,0)[/tex3]
Por outro lado,
[tex3]Paralelos\begin{cases}
\vec{v}_{z}=(0,0,1) \\
\vec{v}_{r}=(0,0,1)
\end{cases}[/tex3]
Então,
[tex3]\vec{v}_{r}\wedge \vec{P_{z}P_{r}}=(-4,3,0)[/tex3]
Ou
[tex3]\vec{v}_{r} × \vec{P_{z}P_{r}}=(-4,3,0)[/tex3]
Assim,
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{||\vec{v}_{r}×\vec{P}_{z}\vec{P}_{r}||}{||\vec{v}_{r}||}[/tex3]
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{\sqrt{(-4)^2+3^2+0^2
}}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}[/tex3]
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{\sqrt{16+9}}{\sqrt{1}}[/tex3]
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{\sqrt{25}}{1}=\frac{5}{1}[/tex3]
Logo,
[tex3]d(r,r_{z})=5[/tex3]
Bons estudos!
Uma solução:
Antes de resolver a questão , vou fazer duas observações:
• Se [tex3]\vec{n}.\vec{v} ≠ 0 [/tex3] , então d( r , π ) = 0
• Se r // π ou r [tex3]\subset [/tex3] π , ou seja , [tex3]\vec{n}.\vec{v} = 0 [/tex3] , então d( r , π ) é a distância de um ponto qualquer de r a π.
Onde, [tex3]\vec{n}[/tex3] é o vetor normal ao plano π e [tex3]\vec{v}[/tex3] é o vetor diretor da reta.
1) A reta [tex3]\begin{cases}
x=3 \\
y=4
\end{cases}[/tex3] pode ser representada também como
[tex3]r:\begin{cases}
x=3 \\
y=4 \\
z=z_{1}+c.t
\end{cases}[/tex3] , onde subentendendo-se z variável.
Obs. r // Oz e [tex3]\vec{v}=(0,0,c)//\vec{k}[/tex3]
Podemos então escolher dois pontos de r , P = ( 3 , 4 , 0 ) e Q = ( 3 , 4 , 1 ) , já que o z varia!
Um vetor diretor de r :
[tex3]\vec{v}=\vec{PQ}=Q-P=(3,4,1)-(3,4,0)=(0,0,1)[/tex3]
Plano xoz : y = 0 ou 0.x + 1.y + 0.z + 0 = 0 , um vetor normal a esse plano é [tex3]\vec{n}=(0,1,0)[/tex3]
Daí,
[tex3]\vec{n}.\vec{v} = 0 [/tex3] →
( 0 , 1 , 0 ).( 0 , 0 , 1 ) = 0.0 + 1.0 + 0.1 = 0.
Assim, basta calcular a distância de um ponto qualquer de r a π. Temos a seguinte fórmula:
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{|a.x_{0}+b.y_{0}+c.z_{0}+d|}{||\vec{n}||}[/tex3]
Onde , a = 0 , b = 1 , c = 0 , d = 0 ( coeficientes do plano y = 0 ) e P [tex3]P=(x_{0},y_{0},z_{0})=(3,4,0)[/tex3] .
Segue que
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{|0.3+1.4+0.0+0|}{||(0,1,0)||}[/tex3]
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{|4|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}[/tex3]
[tex3]d(r,π)=d(P,π)=\frac{4}{\sqrt{1}}[/tex3]
Logo,
d( r , π ) = 4
Eu não costumo resolver duas questões num mesmo tópico, porém , vou abrir essa exceção, vou fazer mais direta e o resto será com você
[tex3]eixo \ dos \ z:\begin{cases}
x=0 \\
y=0 \\
z=1.t
\end{cases}[/tex3]
[tex3]P_{z}=(0,0,0)[/tex3]
[tex3]P_{r}=(3,4,0)[/tex3]
[tex3]\vec{P_{z}P_{r}}=(P_{r}-P_{z})=(3,4,0)[/tex3]
Por outro lado,
[tex3]Paralelos\begin{cases}
\vec{v}_{z}=(0,0,1) \\
\vec{v}_{r}=(0,0,1)
\end{cases}[/tex3]
Então,
[tex3]\vec{v}_{r}\wedge \vec{P_{z}P_{r}}=(-4,3,0)[/tex3]
Ou
[tex3]\vec{v}_{r} × \vec{P_{z}P_{r}}=(-4,3,0)[/tex3]
Assim,
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{||\vec{v}_{r}×\vec{P}_{z}\vec{P}_{r}||}{||\vec{v}_{r}||}[/tex3]
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{\sqrt{(-4)^2+3^2+0^2
}}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}[/tex3]
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{\sqrt{16+9}}{\sqrt{1}}[/tex3]
[tex3]d(r,r_{z})=\frac{\sqrt{25}}{1}=\frac{5}{1}[/tex3]
Logo,
[tex3]d(r,r_{z})=5[/tex3]
Bons estudos!
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